Creo que los mejores libros para lo que buscas son los siguientes:
Se trata de una introducción a la geometría algebraica a través de las superficies de Riemann/curvas algebraicas complejas que hace el tipo de cosas que quieres: demuestra la equivalencia de las diferentes nociones de género, demuestra Riemann-Roch y explica las diferenciales.
Se trata de un nuevo libro traducido y ampliado a partir del original italiano, que está muy descuidado. Desarrolla la geometría algebraica CLÁSICA utilizando una cantidad mínima de álgebra conmutativa (apenas se necesitan algunas nociones de álgebra abstracta). Se desarrolla de la manera más parecida a como se hacía el tema antes de la revolución de Grothendieck que parece haber impregnado todos los títulos modernos. Allí se pueden encontrar viejas definiciones de género como "exceso", un tratamiento no estándar (no cohomológico) de Riemann-Roch para curvas, ejemplos y construcciones clásicas importantes para curvas, superficies y morfismos, e incluso el desarrollo de las multiplicidades y el teorema de Bézout utilizando la vieja y buena teoría de la eliminación y probando su invariancia proyectiva llegando a la fórmula que la mayoría de los libros modernos utilizan para definir la multiplicidad (y olvidando así toda motivación clásica que sea, la dimensión de un espacio vectorial particular).
Junto con los dos libros anteriores, este maravilloso título puede ayudarle a hacer la transición a la geometría algebraica abstracta moderna como ningún otro. Creo que es un gran compañero y complemento del de Beltrametti para aprender los fundamentos del estilo moderno en el camino. Tiene buenos ejemplos y muchos ejercicios (realizables) (como algunas motivaciones muy interesantes y fáciles para la cohomología para resolver problemas conceptualmente geométricos). Es un tratamiento más algebraico pero que desarrolla casi todos los conceptos necesarios a lo largo del camino y es una de las mejores introducciones al lenguaje de la teoría de gavillas en geometría algebraica sin necesidad de esquemas (pero incluso define esquemas finitos para definir multiplicidades, dejándote entender la relación de cómo Beltrametti hace las cosas y por qué saltar a los esquemas es una buena idea al final). Así que al final, acabas entendiendo los grados, el género, Bézout y Riemann-Roch entre otras cosas a través de las secuencias exactas.
En realidad, creo que no se puede aprender mucho sólo con este libro si no se complementa con títulos teóricos estándar como los anteriores. No obstante, es una gran fuente de ejemplos y resultados clásicos que hace un buen trabajo al complementar los otros libros como compañero. Sin embargo, no lo encuentro más útil que eso, como muchos otros.
En mi opinión hay que intentar aprender el libro de Hartshorne (por no hablar del de Liu que tiene muchas menos motivaciones geométricas) SÓLO DESPUÉS uno ha entendido y trabajado el tipo de geometría algebraica clásica que se hace en el libro de Beltrametti y ha relacionado esa geometría con una base algebraica como en la de Perrin. El de Hartshorne es el mejor libro que existe SI uno trabaja a través de casi todos los ejercicios, pero eso no es tarea fácil. No motiva desde una perspectiva clásica la mayoría de las construcciones, definiciones y resultados, por lo que hay que ser capaz de hacerlo conociendo de antemano una pequeña parte de la geometría clásica. La mayoría de los libros estándar modernos trabajan a través de esquemas y ahí estás dejando el mundo de la geometría clásica y entrando en el álgebra conmutativa con una interpretación geométrica, que es lo que hoy se llama "geometría algebraica". No obstante, es un tema fascinante.
A lo largo del camino tendrá que aprender suficiente álgebra conmutativa para entender la geometría algebraica moderna. Para ello, le recomiendo la versión prepublicada del reciente libro de Kemper - "Curso de Álgebra Conmutativa" ya que su versión preliminar originalmente descargable de forma gratuita incluía muchos ejercicios y problemas con todas sus soluciones (la versión publicada no lo hace). Un gran libro, sin duda, para el autoaprendizaje si se puede conseguir. Para una referencia mucho más completa que trate todo el material necesario para Hartshorne, el libro de Eisenbud es la gran opción, aunque larga y con muchas palabras. Un buen libro de texto nuevo y sucinto es Singh - " Álgebra conmutativa básica ", para utilizarlo como referencia puramente formal (pero con ejercicios realizables). Una buena introducción motivada por la geometría para esos títulos es Reid - " Álgebra conmutativa de grado ".
Me parece que la mayoría de la gente ha olvidado lo que "clásico" la geometría algebraica es realmente para la que no se necesita mucho álgebra conmutativa. Hay dos tipos de personas que se acercan a la geometría algebraica: los fascinados por el enfoque moderno algebraico/categórico, los algebristas, y los fascinados por los conceptos y problemas originales muy geométricos, los goemistas. Una típica pregunta fácil para la escuela de los antiguos geómetras es "cuántas superficies de grado $d$ contienen una curva proyectiva espacial dada" los algebristas no se preocupan por la interpretación geométrica visual y sólo se preguntan "¿cuál es la dimensión del espacio de las secciones globales del grado $d$ gavilla ideal de un conjunto algebraico irreducible de dimensión 1" (que resuelven trivialmente a través de una secuencia exacta de gavillas). El problema para mí es que muchos libros modernos (y estudiantes) están completamente cegados por el lenguaje/conjunto algebraico, y olvidan de qué trata la geometría. El estudiante perfecto de geometría algebraica debería preocuparse tanto por, digamos, los funtores derivados como por la vieja escuela geométrica que lo empezó todo (sobre todo los problemas geométricos que formularon para curvas, superficies y variedades, muchos de los cuales siguen sin resolverse mientras que demasiados estudiantes se pierden en el mundo de los esquemas durante demasiado tiempo sin saber nada de geometría).
