Veamos qué es la inversa de $f$ en realidad significa. La definición de $f^{-1}(t)$ es el set $^{[1]}$ de $s$ tal que $f(s)=t$ . El punto importante a tener en cuenta aquí es que no es necesario que sea un conjunto con un solo elemento; puede tener cero elementos, un elemento o múltiples elementos. Por ejemplo, si $f$ no es una función suryectiva, entonces existe alguna $t\in\mbox{codomain }f$ de tal manera que no hay $s$ con $f(s)=t$ y así $f^{-1}(t)=\emptyset$ .
Apliquemos esto a su segunda afirmación para ver por qué esto no da la igualdad de conjuntos como usted sospecha. Dejemos que $f\colon \{0,1\}\rightarrow \{a\}$ sea dada por $f(0)=f(1)=a$ . Dejaremos que $M=\{0\}$ y $N=\mbox{Im } f$ a efectos de este ejemplo. Ahora vemos que $$\begin{array}{rcl}\{f^{-1}(f(t))\mid t\in M\}&=&\{f^{-1}(f(0))\}\\ &=&\{f^{-1}(a)\}\\ &=&\{0,1\}\neq\{0\}\end{array}$$ por lo que la igualdad no se cumple para la segunda afirmación. Esto ocurre porque $f$ no es inyectiva.
Para la primera afirmación, resulta que obtendrá la igualdad, pero sólo porque $N\subset \mbox{Im }f$ . Si $N$ era en cambio un subconjunto del codominio de $f$ (en general un conjunto mayor que la imagen), y $f$ no fuera suryectiva, entonces la primera afirmación tampoco sería válida como igualdad (toma $f\colon\{0\}\rightarrow\{a,b\}$ con $f(0)=a$ y que $M=\{0\}$ , $N=\{a,b\}$ ).
Ahora que te das cuenta de que el problema no es totalmente trivial, y que realmente requiere una demostración, te dejaré esa parte (ya que parece que tu pregunta era más bien para saber por qué la igualdad no siempre se cumple). Si necesitas ayuda con esa prueba, no dudes en dejar un comentario y podré elaborarla.
Siguiendo el comentario del OP, voy a dar una prueba de la primera afirmación, espero que luego puedas demostrar tú mismo la segunda afirmación.
Dejemos que $f\colon X \rightarrow Y$ sea una función de conjuntos y que $M\subset\mbox{domain }f\subset X$ y $N\subset\mbox{Im }f\subset Y$ .
Queremos demostrar que $A=\{f(f^{-1}(t))\mid t\in N\}\subset N$ . Sea $s\in A$ por lo que, por definición, existe un $t\in N$ tal que $f(f^{-1}(t))=s$ . Tenga en cuenta que $f^{-1}(t)=\{u\in X\mid f(u)=t\}$ y así, en particular, para cada $u\in f^{-1}(t)$ tenemos $f(u)=t$ . se deduce que $f(f^{-1}(t))=t$ y así $s=t$ . Por lo tanto, porque $t$ está en $N$ tenemos $s\in N$ . Como $s$ fue elegido arbitrariamente, esto implica que $A\subset N$ según sea necesario.
[1] Aunque la inversa de $f$ es un conjunto, parece que los enunciados de su pregunta no tienen en cuenta esto ya que, de lo contrario, los conjuntos en cuestión no contendrían elementos en común con $N$ y $M$ respectivamente porque serían subconjuntos de los conjuntos de potencias de $\mbox{codomain }f,\mbox{domain }f$ respectivamente. Dado que el enunciado del problema es bastante liberal con la notación, también utilizaré el abuso en el resto de la respuesta.
