Encontrar el número de raíces por observación

Question

Así que aquí hay una pregunta : Dado $ p(x) = x^4 + 4x^3 -4x-13 $ Entonces encuentre el número y la posición de las raíces reales de $p(x)$ .

Hasta ahora, utilizando la regla de los signos de Descartes, puedo decir que tiene como máximo una raíz positiva o como máximo tres raíces negativas.

Se descarta la posibilidad de que las cuatro raíces sean imaginarias ya que el producto de las raíces es negativo.

Por tanto, o bien todas las raíces son reales, 3 negativas y una positiva, o bien dos raíces son reales, una positiva y otra negativa.

Ahora no puedo decidir cuál de las dos posibilidades es la correcta. Y sobre la posición de las raíces no tengo ni idea. No puedo encontrar la etiqueta para la tarea y los ejercicios. Por favor, edita y añade la etiqueta.

Answer 1

Tienes límites superiores de Descartes. Por otro lado $p(0)<0$ y $p(x)>0$ como $x\to \pm\infty$ , muestra que hay al menos una raíz positiva y al menos una negativa (este paso podría sustituir su argumento de que no puede haber cuatro raíces no reales). Todavía no sabemos si hay tres o sólo una raíz negativa, y para decidirlo, podemos probar nuevos métodos:

Tenemos la derivada $p'(x)=4x^3+12x^2-4=4\cdot(x^3+3x^2-1)$ . En los puntos donde $p'(x)=0$ tenemos $$ p(x)=p(x)-\frac x4p'(x)=x^3-3x-13$$ y se puede demostrar que este negativo para $x<0$ . Smarter, y a raíz de un comentario de Macavity en los puntos en los que $p'(x)=0$ tenemos $$p(x)=p(x)-\frac {x+1}4p'(x)=-3x^2-3x-12 =-3(x-\tfrac12)^2-11\tfrac14\le -11\tfrac14<0.$$ Si $p$ tuviera tres raíces negativas, tendría un máximo local entre ellas (o en una raíz múltiple) con valor no negativo.

Answer 2

Desde Descartes, hay exactamente una raíz positiva, y al menos una raíz negativa (observar alternativamente $p(0) < 0$ y $\lim_{x\to \pm \infty} p(x) > 0$ ). Queda por saber si las dos raíces restantes son negativas o complejas.

Para ello, tenga en cuenta $p(x) = (x^3-4)(x+4)+3$ y para los negativos $x$ un cambio de signo sólo puede venir del $(x+4)$ que es positivo cerca de $0$ y negativo lejos de ello, por lo que sólo puede ocurrir una vez. Por lo tanto, sólo puede haber una raíz negativa.

Por supuesto, se podría haber utilizado un argumento similar para concluir que sólo hay una raíz positiva, ya que el cambio de signo sólo puede provenir de $(x^3-4)$ en ese régimen.

P.D. lo anterior da las posiciones de la raíz con respecto al origen. Por supuesto, se pueden probar los signos en intervalos alrededor de $x=-4$ y $x=\sqrt[3]4$ para acotar la posición.