¿Enfoque axiomático de polinomios?

Question

Yo sólo conozco el "constructivo" de la definición de $\mathbb K [x]$, a través del espacio de secuencias finitas en $\mathbb K$. Básicamente se dice que un polinomio es de sus coeficientes.

Es allí una manera de definir los polinomios de "axiomáticamente"? Yo no sé más adecuado de la palabra, a lo que me refiero es como los números reales pueden ser definidos como completar ordenó campo, en oposición, por ejemplo, a la repetición de los decimales.

Si no existe tal definición, a continuación, ¿por qué? ¿Por qué es necesario saber qué es un polinomio, como sí, en lugar de decirle lo que puede hacer con ella?

Tal vez hay un axioma definiciones para algunos tipos específicos de polinomios?

Answer 1

A continuación, es un boceto de una forma de "axiomatize" el polinomio anillo de $\rm\,R[x]\:$ sobre un anillo de $\rm\:R.$

• $\rm\:R[x]\:$ es un anillo conmutativo generado por $\rm\:R\:$ $\rm x\not\in R$

• $\rm\:f = g\:$ en $\rm\:R[x]\iff$ $\rm\:f = g\:$ es demostrable a partir de los axiomas de anillo (y las igualdades de $\rm\:R$)

Dicho de manera informal, $\rm\:R[x]\:$ es el "más libres" posible anillo obtenidos por la hipótesis de que es un anillo que contiene a$\rm\:R\:$$\rm\:x.\:$, En particular, $\rm\:R[x]\:$ no contiene más elementos que los que puede generar de forma iterativa la aplicación de anillo de operaciones a $\rm\:x\:$ y elementos de $\rm\:R,\:$ $\rm\:R[x]\:$ no contiene más de igualdades distintos de los que se pueden deducir por el anillo de axiomas (y las igualdades en $\rm\:R).\:$

Ahora, desde la $\rm\:R[x]\:$ satisface todos los axiomas de anillo, el habitual de las pruebas muestran que cada elemento es igual a uno en el estándar de la forma normal $\rm\:r_0 + r_1\, x +\cdots+ r_n x^n.\:$ A mostrar que no hay dos distintas formas normales son iguales se puede utilizar de van der Waerden del truco (cf. 2º-último post aquí), que aquí las cantidades para el uso regular de la representación.

Como alternativa, más semánticamente, pero con menos eficacia, uno puede ver los elementos de $\rm\:R[x]\:$ como las identidades de $\rm\:R$-álgebras, que de inmediato los rendimientos de la asignación universal propiedad de $\rm\:R[x].$

Estas son las especializaciones de diversas técnicas de construcción libre de álgebras en equationally definido las clases de álgebras. Uno puede encontrar discusión de los mismos en la mayoría de los tratados de álgebra universal. Para un particular legible (y completa) introducción a ver a George Bergman (libre!) libro de texto $ $ Una Invitación a Álgebra General y Universal de Construcciones. Por conveniencia me extracto a continuación mi vinculado Mathoverflow comentarios sobre el van der Waerden del truco, etc - que pueden ser de interés para el OP y otros. Ver también esta respuesta en la motivación formal vs funcional de polinomios.

---

¿Cómo interpreta usted el indeterminado "$\rm x$" en el anillo de la teoría desde el punto de vista de la teoría de conjuntos? ¿Cómo se puede escribir $\rm\:R[x]\:$ como un conjunto? Es apropiado o correcto decir que

$$\rm R[x] = \{f:R\to R \mid \exists n\in\mathbb N,\ and\ c_i \in R\ \ such\ that\ \ f(x) = c_0+c_1 x+\cdots+c_nx^n\}$$ Esta parece ser una muy analítica definición. Es la mejor definición que pone de relieve el aspecto algebraico de que el conjunto de polinomios? $\ \ \ $ (citado de un Mathoverflow pregunta)

El OP no explícitamente a revelar algunos de motivación, es decir, se busca comprender cómo se construye $\rm\:R[x]\:$ -en teoría, y para entender mejor la expresión algebraica de la concepción del polinomio anillos. Tales problemas no son sólo de interés para los estudiantes. Por ejemplo, Pete L. Clark respuesta se refiere a sus notas de algebra conmutativa - donde se discute estos temas a mayor longitud que la mayoría de los libros de texto de álgebra. Allí, mientras se discuten diversas construcciones de $\rm\:R[x],\:$ comenta:

Sin embargo es tedioso para verificar la asociatividad. A través de los años he desarrollado un lema: si usted está trabajando duro para mostrar que algunas operación binaria es asociativa, le falta parte de un cuadro más grande. Desafortunadamente, esto no es un gran caso de prueba para el lema: no sé realmente ágil conceptual de la prueba de la asociatividad de la multiplicación de un polinomio anillo.

-- Pete L. Clark, Álgebra Conmutativa, Seg 4.3, p. 38.

De hecho, hay un "panorama general", incluyendo una construcción que logra lo que quiere. Estos temas son, probablemente, no muy conocidos para los que no han estudiado álgebra universal. Pero sin duda merece ser mejor conocido por el hecho de que proporcionan más profundo conceptual y básica de conocimiento. [...]

Debo destacar que mi motivación difiere de la de Pete notas. Mi objetivo no es principalmente para encontrar una construcción de $\rm\:R[x]\:$ que es el más simple (por ejemplo, con facilidad de verificado el anillo de los axiomas). Más bien, mi motivación tiene más objetivos pedagógicos. Es decir, le deseo una construcción que es fiel a la intención de la aplicación de la $\rm\:R[x]\:$ como un universal/objeto genérico (por ejemplo, a recordar mis universal pruebas de determinante identidades mediante la cancelación de $\rm\:det(A)\:$ genéricos $\rm A).\:$ Con ese objetivo en mente, uno puede motivar de forma bastante natural en la construcción de $\rm\:R[x]\:$ como un cociente $\rm\:T/Q\:$ de los absolutamente libre de anillo término álgebra $\rm\:T = R\{x\}.\:$ $\rm\:T/Q\:$ para satisfacer la deseada universal de asignación de la propiedad es obvio lo que la congruencia Q debe ser: se deben identificar dos términos $\rm\:s(x), t(x)\:$, precisamente cuando más se idéntica en todas las especializaciones en los anillos, es decir, cuando se $\rm\:s(x) = t(x)\:$ es una identidad de los anillos. Así, por ejemplo, $\rm\:mod\ Q\:$ tenemos $\rm\:1*x = x,\ \ x*(x+1) = x*x+x.\:$, En particular, $\rm\:T/Q\:$ es un anillo, ya que satisface todos los (casos de) anillo de identidades (esp. el anillo de los axiomas).

A continuación se muestra que el estándar de la suma-de-monomials representación de los rendimientos de una forma normal para los elementos de $\rm\:T/Q,\:$ es decir, cada elemento de a $\rm\:T/Q\:$ está únicamente representado por algunos de esos normalizado polinomio de $\rm\:T.\:$ Existencia es trivial: basta con aplicar el anillo de axiomas para reducir a un representante a la normalidad polinomio de la forma. Es menos trivial para probar la unicidad, es decir, que las distintas formas normales representan los elementos distintos de a $\rm\:T/Q.\:$ Para esto hay un truco muy común que a menudo tiene éxito: explotar una representación conveniente de el anillo. Aquí un regular la representación que hace el truco. Este método se denomina "van der Waerden truco", ya que el empleado en las construcciones de grupo de co-productos (1948) y álgebras de Clifford (1966).

Aviso de que este desarrollo es agradablemente conceptual: $\rm\:R[x]\:$ está construido de forma bastante natural como la solución a un universal problema de asignación - un problema que está motivado por el deseo de ser capaz de realizar genérico de pruebas, como se dijo en las pruebas de factor determinante de las identidades. Todo está bien-motivado - nada es sacado de un sombrero.

La misma construcción de la libre álgebras funciona de forma mucho más general, por ejemplo, para cualquier clase de álgebras que admitir que una de primer orden ecuacional axiomatization. Aunque también hay algunos otros métodos conocidos para la construcción de tales libre de álgebras, este es el método más natural de manera pedagógica y de manera constructiva. De hecho, esta es la forma en que la mayoría de álgebra computacional de los sistemas de implementar libre de álgebras. La dificultad no radica tanto en la construcción de la libre álgebra, sino, más bien, en la invención de lo normal-formulario de algoritmos para que pueda calcular de manera efectiva en tales libre de álgebras. Aunque esto es trivial para los anillos y los grupos, para otras álgebras puede ser muy difícil - por ejemplo, la libre modular de celosía en $5$ generadores indecidible palabra problema, es decir existe ningún algoritmo para decidir la igualdad. Por supuesto, se ha hecho mucho trabajo tratando de descubrir la forma normal de algoritmos, por ejemplo, google Knuth-Bendix finalización, Bergman diamante lema. Ídem para los algoritmos para la computación en los cocientes de libre álgebras, es decir, álgebras presentado por generadores y relaciones, por ejemplo, bases de Grobner, Todd-Coxeter, etc.

Vale la pena subrayar que Van der Waerden el truco es muy útil en muchas situaciones similares. Por ejemplo, véase Alberto Gioia tesis de Maestría (bajo Hendrik Lenstra) $ $ formas Normales en combinatoria, álgebra, 2009. También es discutida en la George Bergman del clásico de papel[1] en el Diamante Lema, y en su hermoso libro de texto [2] en álgebra universal.

[1] Bergman, G. El diamante lema para el anillo de la teoría,
Los avances en las Matemáticas 29 (1978) 178-218.
[2] Bergman, G. Una Invitación a Álgebra General y Universal de Construcciones.

Answer 2

Respuesta corta: (commuting) polinomios con coeficientes de a (conmutativa, asociativa, unital) anillo R son sólo las cosas que pueden claramente ser evaluados en cualquier anillo que contiene a R.

Algunas definiciones

Voy a describir la definición de un par de veces, así que usted puede ver cómo las cosas como la de este trabajo.

En esta respuesta todos los anillos y álgebras son propiedad conmutativa, asociativa y unital.

(1) Básicamente, PolynomialRing(R) es una R-álgebra T y un especial elemento t de T, pero T tiene un método llamado Evaluate(S,s) que toma otra R-álgebra S y un elemento s de S y produce el único R-álgebra homomorphism de T a S que envía t a s. La existencia de la homomorphism es más "de lo que se puede hacer con T", pero la singularidad de la homomorphism es importante definir el único (hasta R-álgebra isomorfismo) polinomio anillo de más de R.

Del mismo modo $\mathbb{R}$ es un orden de campo, así que sabemos lo que podemos hacer con ella: podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, y comparar. Tenemos necesidad de "completar" el saber que tenemos el campo de la derecha (y nos da un par de otros ordenada de operaciones como sup e inf, por lo que existen límites). La evaluación homomorphism nos dice lo que podemos hacer con el álgebra, y la singularidad de la evaluación homomorphism nos dice que nosotros tenemos el derecho de álgebra (y nos da un par de otros cuidada categoría de teoría como de operaciones como adjoints, así que algo como existen límites).

(2) Dado un anillo R el polinomio anillo con los coeficientes de R es un R-álgebra T con un destacado elemento de t tal que para cada R-álgebra S y elemento s de S existe un único R-álgebra homomorphism de T a S que envía t a s.

El homomorphism se llama "evaluar el polinomio en $t=s$".

Si $(T,t)$ $(X,x)$ son dos de esos polinomio de anillos, entonces existe un único R-álgebra homomorphism de T a T que envía t a t (a saber, la identidad), pero existe también la composición de la homomorphisms de T a X y X a T enviar a t a x y x a t. Por lo tanto la composición es la identidad, y ambos son isomorphisms.

(3) Dado un anillo R el polinomio anillo con los coeficientes de R en n indeterminates es una R-álgebra con distinguidos elementos $t_1,t_2,\dots,t_n$ tal que para cada R-álgebra S con el elemento $s_1,s_2,\dots,s_n$ hay un único R-álgebra homomorphism de T a S el envío de $t_1,t_2,\dots,t_n$ $s_1,s_2,\dots,s_n$(en ese orden).

Una secuencia $s_1,s_2,\dots,s_n$ es una función de los números de $1,2,\dots,n$ a S. Uno no tiene que usar los números para los identificadores de variable. Cualquier conjunto X puede trabajar.

(4) Dado un anillo R y un conjunto X, el polinomio anillo con coeficientes R y indeterminates X es una R-álgebra T que contiene X como un subconjunto tal que para cualquier R-álgebra S y la función de X a S, no hay un único R-álgebra homomorphism de T a S de acuerdo con la función en X.

¿Cuáles son álgebras?

En caso de que usted no ya como R-álgebras o anillos, permítanme describir en términos sencillos.

Comenzar con el caso de que R es un campo. Una R-álgebra es cualquiera de las siguientes equivalente ideas (a elegir uno que tenga sentido):

(1) Un R-espacio vectorial S con una multiplicación es asociativa, conmutativa, y unital, y que funciona bien con la multiplicación escalar: $(rv)(w) = r(vw) = v(rw)$ r en R, y v, w en el espacio vectorial.

(2) Un anillo de S que contiene a R como un sub-anillo (donde la identidad multiplicativa de S es la misma que la de R).

Una R-álgebra homomorphism es sólo una función que preserva todo: $f(v+w) = f(v)+f(w)$, $f(rv) = r f(v)$, y $f(vw) = f(v) f(w)$. Observe que $f(r)=r$ si usted toma el punto de vista 2.

Desde R-álgebra homomorphisms preservar la suma y la multiplicación y coeficientes, que nos permiten evaluar cualquier "polinomio" donde por polinomio me refiero a una receta para combinar el anillo de los elementos mediante la suma, la multiplicación, y la multiplicación escalar, como "Tomar un anillo elemento, cuadrado, añadir 3, se multiplica por el elemento original, y añadir 5", mejor conocido como"$x\mapsto (x^2+3)x+5 = x^3 + 3x + 5$. El lado derecho es sólo un polinomio como sabemos, y R-álgebra homomorphisms nos permite decir que si x se sustituye por un determinado álgebra elemento, entonces sabemos lo que todo polinomio debe ser (sólo siga la receta).

Así que el polinomio de anillos sólo tiene que "existen" en algún sentido: solo son recetas para combinar los elementos de álgebra de operadores (recetas de la adición y de la multiplicación). Lo sorprendente es que ellos existen en un muy simple sentido: ellos mismos son R-álgebras. Las recetas pueden ser sumados y multiplicados.

Demostrando que existen como R-álgebras requiere de algunas cosas como ridículo secuencias (como la prueba de la existencia de una completa ordenó campo requerido tonterías como secuencias de cauchy o de dedekind cortes), pero trabajar con ellos como recetas no requiere nada de eso en absoluto.

Por cierto, la definición de álgebra por un anillo conmutativo R no es muy diferente: reemplazar "espacio vectorial" con "módulo" y "S contiene R como un sub-anillo" con "tiene un anillo homomorphism de R en S".

La CGT de lado

En la posibilidad de que te gusta computacional teoría de grupo: una forma común de representar los elementos de "polinomio grupos" (llamada gratis de los grupos) es por "monomials" (sólo los grupos tienen la multiplicación, por lo que no se pueden añadir permitido) o "palabras" (como cadenas en el CS). Sin embargo, las palabras pueden ser un poco limitante, en la práctica, los cálculos, y hay otros tipos de datos como en la "línea recta programas" que, literalmente, recetas para la multiplicación de cosas juntos. "Tomar el elemento # 1 y se multiplica por el elemento #2 colocar el resultado en el elemento #1. Tome elemento # 1 y se multiplica por el elemento #1 y colocar el resultado en el elemento # 1.", o más brevemente $[a,b] \mapsto [(ab)^2, b]$.

Estas recetas pueden a menudo ser almacenado en el espacio logarítmico en el espacio necesario para el general de las palabras. También pueden acelerar algunos cálculos con la grabación de un particular eficiente ", además de la cadena" para producir una lista de los elementos del grupo (la multiplicación de los elementos del grupo a veces tarda un par de segundos por la multiplicación, por lo que es importante no perder de ellos).

Muchas veces uno trabaja con recetas como si se acaba de recetas, pero de vez en cuando es importante saber que las recetas que ellos mismos forman parte de un grupo y que no hay un único grupo de homomorphism (evaluación) que toma el formal "elemento", "#1" a un elemento específico de un grupo específico.

Answer 3

Edit: Como Bill Dubuque ha señalado lo siguiente es muy similar al enfoque estándar llaman por el OP. De todos modos la siguiente definición differes a partir de dicha definición estándar, debido a que se presente el polinomio anillo como un módulo con una base adicional de la estructura de la satisfacción de los axiomas.

Edit2: he interpretan axiomatization como una presentación de una estructura como la familia de conjuntos y funciones de estos conjuntos de satisfacer algunas de axiomas, es decir, la presentación a través de la (posible multi-ordenados) de primer orden teorías.

Aquí una posible axiomatization para el polinomio de anillo en una variable. Deje $R$ ser un conmutativa unital anillo, entonces un polinomio anillo de más de $R$ es sólo un $R$-módulo, que se denota como $R[x]$, teniendo un contable base indexados por $\mathbb N$, $R$- bilineal mapa de $b \colon R[x] \times R[x] \to R[x]$ tal que para cada una de las $n,m \in \mathbb N$ si $x^n$ $x^m$ son, respectivamente, el $n$-th y $m$-th elementos de la base, a continuación,$b(x^n,x^m)=x^{n+m}$.

Esta definición ampliar fácilmente para el polinomio de anillos con $n$-variable.

Answer 4

No sé si @Yrogirg estará satisfecho con esta descripción, bastante cerca de lo que él más bien rechazado, pero uno también puede ver los polinomios en una variable sobre la $R$ como el monoid anillo de $\mathbb{N}$$R$, $\mathbb{N}$ me refiero al conjunto de números enteros no negativos menores de adición. Es decir, la libre $R$-módulo con base en el conjunto de $\mathbb{N}$, la combinación de monomials derivados de la adición en $\mathbb{N}$. De la misma manera, el "anillo de polinomios de Dirichlet"$R$, el conjunto finito de expresiones formales $\sum_na_nn^{-t}$, donde el$a_n$$R$, es el monoid anillo de ${\mathbb{N}}^+$$R$, y donde ahora se ${\mathbb{N}}^+$ es el conjunto de enteros positivos en virtud de la multiplicación.

Answer 5

$R[X]$ es el Anillo conmutativo mínimo que contiene el anillo comutativo $R$ y un elemento $X$ tal que no hay ninguna relación
$$\displaystyle \sum_{k=0}^nr_kX^k=0,\,r_k\in R.$$