41 votos

Demostrar que existe un número real $a$ tal que $\frac{1}{3} \leq \{ a^n \} \leq \frac{2}{3}$ para todos $n=1,2,3,...$

Demostrar que existe un número real $a$ tal que $\frac{1}{3} \leq \{ a^n \} \leq \frac{2}{3}$ para todos $n=1,2,3,...$ Aquí, $\{ x \}$ denota la parte fraccionaria de $x$ .

Mi intento: Claramente $a$ no puede ser un número entero porque $\{ a^n \}=0$ para todos $n \in \mathbb{N}$ . También $a$ no puede ser un número racional porque $\{ x \}$ es lo mismo que $a$ modulo $1$ . Así que la parte fraccionaria de $a$ en algún momento, será menor que $\frac{1}{3}$ .

Trato de encontrar lo irracional $a$ que satisface la desigualdad, pero no he tenido suerte.

¿Puede alguien dar alguna pista sobre esta cuestión?

24voto

Ed Krohne Puntos 67

Existe $\alpha \in\left[\dfrac{16}{3},\dfrac{17}{3}\right]$ con la propiedad requerida. Para ver esto, construiremos una secuencia de intervalos $$\left[\dfrac{16}{3},\dfrac{17}{3}\right]=[\alpha_{1},\beta_{1}]\supset [\alpha_{2},\beta_{2}]\supset\cdots\supset[\alpha_{n},\beta_{n}],$$ donde $\alpha_{n}$ y $\beta_{n}$ son tales que $$\alpha^n_{n}-\dfrac{1}{3}=\beta^n_{n}-\dfrac{2}{3}=m_{n}\in \Bbb N^{+},$$ de modo que, para cualquier $x\in [\alpha_{n},\beta_{n}]$ tenemos $$\dfrac{1}{3}\le\{x^n\}\le\dfrac{2}{3}.$$

Construimos la secuencia de intervalos por inducción. Supongamos que tenemos $[\alpha_{n},\beta_{n}]$ . Dejemos que $$a=\alpha^{n+1}_{n},\quad\quad b=\beta^{n+1}_{n}.$$ De ello se desprende que $$ b-a=(m_{n}+\dfrac{2}{3})\beta_{n}-(m_{n}+\dfrac{1}{3})\alpha_{n}>\dfrac{\alpha_{n}}{3}>\dfrac{5}{3}.$$ Entonces existe $m_{n+1}\in \Bbb N^{+}$ tal que $$\left[m_{n+1}+\dfrac{1}{3},m_{n+1}+\dfrac{2}{3}\right]\subset[a,b].$$ Tomamos $$\alpha_{n+1}=\sqrt[n+1]{m_{n+1}+\dfrac{1}{3}},\qquad\beta_{n+1}=\sqrt[n+1]{m_{n+1}+\frac{2}{3}}.$$ Ahora $$\alpha^{n+1}_{n}=a<\alpha^{n+1}_{n+1}=m_{n+1}+\dfrac{1}{3}<\beta^{n+1}_{n+1}=m_{n+1}+\dfrac{2}{3}<b=\beta^{n+1}_{n},$$ y por lo tanto $\alpha_{n}\le\alpha_{n+1}<\beta_{n+1}<\beta_{n},$ o $$[\alpha_{n},\beta_{n}]\supset[\alpha_{n+1},\beta_{n+1}].$$

-2voto

sjb Puntos 78

Evidentemente depende de la aproximación de a≈5,62144865272, pero una rápida comprobación con la calculadora de windows muestra que a^14 ≈ 31468458796,31579.. o a^15 ≈ 176898325303,72424.. por ejemplo

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