Dejemos que $W$ sea un subespacio lineal de $V$ tal que $V = \ker(f)⊕W$ donde $\ker(f)$ es el espacio nulo de $f$ . ¿Cuál es la dimensión de $W$ ?

Question

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial (sobre $ \mathbb{R}$ ) de dimensión 7 y dejemos que $f : V \mathbb{R}$ sea un funcional lineal no nulo. Sea $W$ sea un subespacio lineal de $V$ tal que $V = \ker(f)W$ donde $\ker(f)$ es el espacio nulo de $f$ . ¿Cuál es la dimensión de $W$ ?

Answer 1

$W$ tiene dimensión $1$ . Utilice el teorema de nulidad de rango y el hecho de que $f$ es distinto de cero para concluir que el rango es $1$ y $Ker(f)$ tiene dimensión $6$ .

Answer 2

Desde $\dim V=\dim(\ker f)+\dim W$ se deduce debido a la Teorema de Rank-Nullity eso, $\dim\Im(f)=\dim W.$

$\Im(f)$ es un subespacio de $\mathbb R.$ Naturalmente $\dim\Im(f)\le1.$

Ahora $f\ne0\implies\dim\Im(f)\ne0.$ En consecuencia, $\dim W=1.$

Answer 3

Por nulidad de rango, $\dim V - \dim \ker f = 1 = \dim W$ . Obsérvese que la dimensión de $V$ no es relevante.

Answer 4

Se puede hacer esto incluso sin invocar la nulidad de rango. Si uno restringe $f$ a $W$ Esto da un mapa lineal $W\to\Bbb R$ que sea distinto de cero (porque si lo fuera entonces $f$ sería cero en todos los $\ker(f)+ W=V$ que no lo es) y, por lo tanto, suryente (ya que $\Bbb R$ tiene dimensión $~1$ únicamente); además, el núcleo del mapa es $\ker(f)\cap W=\{0\}$ por lo que es inyectiva. La restricción es por tanto un isomorfismo, y su existencia implica $\dim(W)=\dim(\Bbb R)=1$ .

En este argumento la dimensión de $~V$ no entra en absoluto. Así que la conclusión sigue siendo válida para $V$ de cualquier dimensión, incluso infinita.