Prueba ese número $4p^2+1$ puede mostrarse como suma de cuadrados de tres números diferentes

Question

Dejemos que $p>3$ es un número primo. Demuestra que el número $4p^2+1$ puede mostrarse como suma de cuadrados de tres números diferentes.

Sólo lo que sé que cada número primo $p>3$ puede mostrar como $p=6k+1$ o $p=6k-1$ , de tal manera que $k \in \mathbb Z$ .

Si pongo $p=6k+1$ entonces $4(6k+1)^2+1=(12k)^2+(24k+3)^2-(24k+2)^2$ Aquí no mostré lo que quieren en la tarea.

Para $p=6k-1$ las cosas no cambian, ¿tienes alguna idea?

Answer 1

Observe que $5=1^2+2^2,$ Así que..:
$4(6k+1)^2+1=144k^2+48k+5=(ak)^2+(bk+1)^2+(ck+2)^2=(a^2+b^2+c^2)k^2+(2b+4c)k+5$
$\therefore 144=a^2+b^2+c^2 \qquad$ y $\qquad 2b+4c=48$

Por ensayo y error, descubrí que $a=4, b=8, c=8$ .
Así que $4(6k+1)^2+1=(4k)^2+(8k+1)^2+(8k+2)^2$

Ahora para $p=6k-1,$
$4(6k-1)^2+1=144k^2-48k+5=(ak)^2+(bk-1)^2+(ck-2)^2=(a^2+b^2+c^2)k^2-(2b+4c)k+5$
$\therefore 144=a^2+b^2+c^2 \qquad$ y $\qquad -48=-(2b+4c)$

Así que, $4(6k-1)^2+1=(4k)^2+(8k-1)^2+(8k-2)^2$