Una desigualdad con triángulos esféricos

Question

Sea ABC un triángulo esférico, donde la distancia esférica (o ángulo) AB es $\pi/2$ y $C\neq -A$ . Para $t\in[0,1]$ , dejemos que $B(t)$ (resp. $C(t)$ ) sea el único punto del segmento $[AB]$ (resp. $[AC]$ ) tal que $AB(t) = t AB$ (resp. $AC(t) = t AC$ ).

Pregunta: ¿Es cierto que $B(t)C(t) \leq 2 BC$ para cualquier $t\in [0,1]$ ?

El peor caso parece ocurrir cuando $C$ está cerca de $-A$ para que $BC\simeq \pi/2$ pero $C(t)$ va en la dirección opuesta a $B$ para que en algún momento $B(t)C(t) = \pi$ . (Ver la imagen de abajo, donde D es que B(t) y E que C(t)).

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Para los que les interese, la pregunta está relacionada con mi documento arXiv:1507.05485 donde el Lemma 15 es básicamente la pregunta que hago aquí, pero la prueba es errónea, como señaló un árbitro muy diligente. Puedo arreglar la prueba, pero sólo con $B(t)C(t) \leq 3 BC$ ...

Answer 1

Desgraciadamente, la respuesta del usuario35593 está rota pero he obtenido algo en la misma línea : $$\cos(B(t)C(t)) = \cos(tAB-tAC) - \sin(tAB)\sin(tAC)(1-\cos a),$$ donde $a$ es el ángulo en $A$ . Así, $$\cos(B(t)C(t)) \geq \cos(AB - AC) + \cos a - 1 = \sin(AC) + \cos a -1.$$ Suponemos que $BC < \frac\pi2$ para que $\cos a \sin(AC) = \cos(BC) > 0$ . Desde $0\leq AC \leq \pi$ tenemos $\sin(AC)\geq 0$ y por lo tanto $\sin(AC)>0$ y $\cos(a)>0$ . Esto es suficiente para tener $$\sin(AC) + \cos a -1 \geq 2 \cos(a)^2 \sin(AC)^2 - 1 = \cos(2 BC).$$ Esto da lugar a la reclamación.