¿Cómo estimar una constante de Lipschitz para una transformación? $T(x,y)=(u,v)$

Question

Considere una transformación $T(x,y)=(u,v)$ definido en (el cuadrado unitario $E\ $ ): $0\leq x\leq 1$ , $0\leq y\leq 1$ . Donde $$u=2x^2+6xy-4x^3/3-3xy^2, \ \ \ v=x^3-y^2 $$ Demuestre que una estimación para la constante de Lipschitz $M$ en $E$ es $M=\sqrt{65}$

Por la constante de Lipschitz $M$ nos referimos a $$ |T(p)-T(q)|\leq M|p-q|,\ \ p,q\in E$$ Desde $T$ es de la clase $C'$ sabemos que $T$ es Lipschitz, he intentado hacer $|(u,v)-(u',v')|$ pero no parece ser un buen camino. La pista dice maximizar el valor absoluto de las derivadas que llegan a la matriz $$\left(\begin{array}{rc} 4 & 6\\ 3 & 2 \end{array}\right) $$ Pero no veo cómo se llega a esta matriz ni cómo esto puede ayudar. Por favor, cualquier guía.

Answer 1

El Jacobiano de $T$ en $(x,y)$ es $$J(T)(x,y) = \begin{bmatrix}4x+6y-4x^2-3y^2 & 6x - 6xy \\ 3x^2 & -2y\end{bmatrix}.$$

Maximizar el valor absoluto de cada entrada (sobre $x,y \in [0,1]$ ) conduce individualmente a la matriz de la pista.

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En general, tenemos la aproximación lineal $T(q) \approx T(p) + [J(T)(p)](q-p)$ cuando $q$ está cerca de $p$ La idea es que $$|T(q)-T(p)| \approx |[J(T)(p)](q-p)|.$$

El lado derecho está delimitado por $M |q-p|$ donde $M$ es la norma del operador (mayor valor singular) del jacobiano. El la norma del operador está limitada por la norma de Frobenius (raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las entradas o, de forma equivalente, raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los valores singulares). Utilizando la matriz de la pista, la norma de Frobenius es $\sqrt{4^2+6^2+3^2+2^2}=\sqrt{65}$ .