Dejemos que $Z_n=\sum_{k=1}^n a_k X_k$ con $(a_k)$ una secuencia estrictamente decreciente de números reales positivos que tienden a cero. Las variables aleatorias $X_k$ son independientes y satisfacen $P(X_k=1) =p_k, P(X_k=-1)=1-p_k$ . Aquí $p_k=\frac{1}{2}$ . La serie normalizada se define como $Z^*_n=(Z_n-\mbox{E}[Z_n])/\sqrt{\mbox{Var}[Z_n]}$ . Tenga en cuenta que todos los momentos Impares, incluyendo $\mbox{E}[Z_n]$ son cero. En particular, $\mbox{Var}[Z_n]=\mbox{E}[Z_n^2]$ .
Mis preguntas son :
- ¿Es correcto mi cálculo de los momentos (véase más abajo)?
- ¿Cuál es la distribución límite de $Z^*_n$ si $a_k=1/k^s$ con $s=1/2$ ? O si $a_k=1/2^k$ ? O si $a_k=1/3^k$ ?
Los progresos realizados hasta ahora:
La función característica es $\phi(t)=\prod_{k=1}^n \cos(a_k t)$ . En particular, si $a_k=1/2^k$ entonces $\phi(t)=(\sin t)/t$ cuando $n=\infty$ . Si $a_k=1/3^k$ , espero que la distribución resultante tenga un dominio de soporte incómodo, y relacionado con los conjuntos de Cantor. Esto se debe a que $(a_k)$ converge demasiado rápido a cero. Pero si $a_k=1/k^s$ con $1/2 < s < 1$ la distribución resultante, para $Z_n$ se comporta como cualquier distribución continua suave con dominio de soporte igual al conjunto de números reales. Si $s\leq 1/2$ la varianza es infinita y tenemos que utilizar $Z^*_n$ en lugar de $Z_n$ . Sin embargo, me pregunto cuál es la distribución límite de $Z_n^*$ es. ¿Es gaussiano? ¿Es aplicable el Teorema Central del Límite? Creo que sí si $s<1/2$ Pero, ¿y si $s=1/2$ (el punto crítico)? No me sorprendería que esto estuviera relacionado con el comportamiento de la función Zeta de Riemann (sus raíces) en la franja crítica, especialmente si se permite $s$ para ser un número complejo.
Pasando a la función generadora de momentos, tenemos $$\mu(t)\equiv \mbox{E}[\exp(t Z_n)] = \prod_{k=1}^n \cosh(a_k t).$$
Así, tomando el logaritmo y diferenciando obtenemos: $$\mu'(t)=\mu(t)g(t), \mbox{ with } g(t)=\sum_{k=1}^n a_k\tanh(a_k t).$$
Podemos diferenciar iterativamente para obtener $\mu''(t)=\mu'(t)g(t)+\mu(t)g'(t)$ y así sucesivamente, y calcular recursivamente los momentos $\mbox{E}[Z^m]=\mu^{(m)}(0)$ para $m=1, 2$ y así sucesivamente. Usé Mathematica para calcular $m$ -derivada de $\tanh(a_k t)$ en $t=0$ y esto es lo que al final he conseguido:
$$\mbox{E}[Z_n^4]=3\Big(\sum_{k=1}^n a_k^2\Big)^2 - 2 \Big(\sum_{k=1}^n a_k^4\Big),\\ \mbox{E}[Z_n^6]=15\Big(\sum_{k=1}^n a_k^2\Big)^3 - 30 \Big(\sum_{k=1}^n a_k^2\Big)\Big(\sum_{k=1}^n a_k^4\Big)+16\Big(\sum_{k=1}^n a_k^6\Big). $$ Por supuesto $\mbox{E}[Z_n^2]=\sum_{k=1}^n a_k^2$ es bien conocida, pero nunca he visto los momentos 4 y 6 publicados en ningún sitio. Estaría bien que mis cálculos se pudiesen comprobar de nuevo, ya que podría ayudar a los estadísticos que utilizan este tipo de distribución para el ajuste de modelos, eligiendo $(a_k)$ 's que proporcionan un buen ajuste con algunos momentos empíricos.
Suponiendo que mis cálculos sean correctos y utilizando la notación $Z=Z_\infty$ para la serie armónica aleatoria $(a_k=1/k)$ tendríamos:
$$\mbox{E}[Z^2]=\frac{\pi^2}{6}, \mbox{ } \mbox{ } \mbox{ } \mbox{E}[Z^4]=\frac{11\pi^4}{180}, \mbox{ } \mbox{ } \mbox{ } \mbox{E}[Z^6]=\frac{233\pi^6}{7560}.$$
La primera identidad es conocida.
