Dejemos que $F = Z_3$ . Es $f(x) = x^4 + x^3 + x + 2$ irreducible en $F[x]$ ?

Question

Lo publico para comprobar si lo he hecho bien.

La primera aproximación fue comprobar las raíces: $f(0) \neq 0$ , $f(1) \neq 0$ , $f(2) \neq 0$ .

Segundo enfoque: Fuerza bruta

Mis opciones para el grado 1 eran: $x$ , $x+1$ , $x+2$

Mis opciones para el grado 2 eran: $x^2$ , $x^2 + 1$ , $x^2+2$ , $x^2+x$ , $x^2+x+1$ , $x^2+x+2$

Saqué $x$ , $x^2$ , $x^2+x$ porque tengo una constante al final, así que es imposible que sean factores.

Después de algunas largas divisiones, llegué al hecho de que

$\frac{x^4 + x^3 + x + 2}{x^2 +1} = x^2 + x + 2$ con $r = 0$

Concluí que este polinomio es reducible en $F[x]$ .

¿Es esto suficiente?

Answer 1

Todo lo que tienes que hacer para comprobar que tu factorización es correcta es multiplicarla.

$\begin{align} (x^2 + 1)(x^2 + x + 2) &= x^2(x^2 + x + 2) + (x^2 + x + 2) \\ &= x^4 + x^3 + 2x^2 + x^2 + x + 2 \\&= x^4 + x^3 + 3x^2 + x + 2\\& = x^4 + x^3 + x + 2\end{align}$

Que es, efectivamente, con lo que has empezado.