¿Cómo se puede demostrar que cualquier conmutativo de dimensión finita $\mathbb{R}$ -Álgebra $A$ tiene módulos simples de dimensión $\le 2$ . Entiendo que el resultado análogo es válido para $\mathbb{C}$ y dimensión $1$ Sin embargo, me cuesta relacionar esto con la $\mathbb{R}$ caso.
Respuesta
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rschwieb
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Los módulos simples de $A$ coinciden con los de $A/J(A)$ donde $J()$ significa el radical de Jacobson. Sin pérdida de generalidad entonces, $A$ es semisimple artiniano.
El teorema de Artin-Wedderburn dice que $A$ tiene que ser un producto finito de anillos matriciales sobre extensiones de anillos de división de dimensión finita de $\mathbb R$ pero como $A$ se asumió como conmutativo, los anillos de matrices tienen que ser todos $1\times 1$ y los anillos de división son de hecho extensiones de campo finito de $\mathbb R$ .
Sólo hay dos de ellos, $\mathbb R$ y $\mathbb C$ .
Así que el anillo es en realidad una suma directa de copias de $\mathbb R$ y $\mathbb C$ . Por lo tanto, un cociente por un ideal maximal (que es como surgen todos los módulos simples) hace algo de $\mathbb R$ dimensión $1$ o $2$ .
