Resolución de un sistema algebraico no lineal que representa el equilibrio de un sistema de EDOs

Question

Dado el siguiente sistema:

$$ a_1+(a_3+a_4)V-a_5WX = 0 \\ (a_7+a_4)Y-a_6WZ = 0 \\ a_2-W(a_4+a_5X+a_6Z)+(a_3+a_8)V+a_7Y = 0 \\ a_5WX-(a_3+a_8+a_4)V = 0 \\ a_6WZ-(a_7+a_4)Y = 0 $$

donde $a_1$ a $a_8$ son constantes positivas y $V,W,X,Y,Z$ son variables de valor positivo, ¿es posible resolver a mano para $V,W,X,Y,Z$ en términos de las constantes?

Los únicos términos no lineales del sistema son $WX$ y $WZ$ y $X$ siempre se produce con $W.$

He intentado muchas cosas para resolver esto (es decir, Matlab y Maple), pero no estoy obteniendo soluciones explícitas para todos, aunque tengo $5$ ecuaciones en $5$ variables. Siempre tengo una variable libre.

Agradecería la ayuda.

Answer 1

Tu segunda y quinta ecuación son equivalentes. Esto podría ser inmediatamente claro en la primera visualización de abajo.

Desde $$\begin{align} a_1 + a_3 V + a_4 V - a_5 WX &= 0 & (1) \\ a_4 Y + a_7 Y - a_6 WZ &= 0 & (2) \\ a_2 + a_3 V + a_8 V - a_4 W - a_5 W + a_7 Y - a_6 WZ &= 0 & (3) \\ -a_3 V - a_4 V - a_8 V + a_5 WX &= 0 &(4) \\ -a_4 Y - a_7 Y + a_6 WZ &= 0 & (5) \end{align}$$ eliminar $WX$ y simplificar algunas cosas obvias, dando como resultado $$\begin{align} a_1 &= a_8 V & \text{ from (1) and (4)}\\ a_2 &= -a_3 V - a_8 V + a_4 W + a_5 W + a_4 Y & \text{ (3) + (5) }\\ a_6 WZ &= (a_4 + a_7) Y & \text{ from (2) or (5) } \end{align}$$

Nos quedamos con tres ecuaciones en cuatro incógnitas, por lo que habrá una variable libre. Además, este sistema es extremadamente sencillo de terminar a mano.