Dejemos que $X=\{(t,t^2,t^3):t\in\mathbb{C}\}$ sea una curva afín y consideremos el morfismo $f:X\to\mathbb{A}_{\mathbb{C}}^1$ , $(t,t^2,t^3)\mapsto t$ . Cómo calcular el grado de $f$ ?
Respuesta
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Si $f:X\to Y$ sea un morfismo finito de curvas, entonces el grado si $f$ se define como el grado de la extensión del campo $[K(X):K(Y)].$
En este caso concreto, ambos $X$ et $Y$ son variedades afines. Así que $K(X)$ et $K(Y)$ son sólo el campo de fracciones de sus respectivos anillos de coordenadas. Se puede demostrar que el anillo de coordenadas de $X$ es isomorfo a $\mathbb C[t],$ lo mismo que $\mathbb A^1_{\mathbb C}.$ Así que el grado es $1.$
