norma de un funcional alcanza en parte real

Question

Traté de demostrar que, cuando $X$ es un espacio de Banach, se cumple que $$\sup Ref(B_X)=\|f\|$$ , donde $f \in X^*$ es un funcional y la norma está definida por $\|f\|=\sup\{ |f(x)|: x \in B_X \}$ .

Una de las desigualdades es sencilla, pero no veo la otra.

Answer 1

Si $z=re^{i\theta}$ es cualquier número complejo ( $r \geq 0, \theta \in \mathbb R$ ) entonces podemos escribir $|z|=Re (cz)$ donde $c=e^{-i\theta}$ . Tenga en cuenta que $|c|=1$ . Tomando $z=f(x)$ donde $\|x\| \leq 1$ vemos que $|f(x)|= Re f(y)$ para algunos $y$ con $\|y\|=1$ . Esto demuestra la otra desigualdad.