Cómo integrarse en la norma $n$ -simplex directamente en $\mathbb{R}^{n+1}$ ?

Question

Definición de norma $n$ -simplemente

El estándar $n$ -simplemente contiene todos los puntos $\vec{x} \in \mathbb{R}^{n + 1}$ tal que $0 \le x_i \le 1$ et $\vec{x} \cdot \vec{1} = 1$ .

Mi definición del área de $n$ -simplemente

$$A_{n} = \frac{\sqrt{n+1}}{n!}.$$

La norma $2$ -simplex es un triángulo equilátero con longitud de lado $\sqrt{2}$ y vértices en $(1, 0, 0)$ , $(0, 1, 0)$ y $(0, 0, 1)$ . La zona es $A_{2} = \dfrac{\sqrt{3}}2$ .

La norma $1$ -es una línea con vértices en $(1, 0)$ et $(0, 1)$ . La longitud es $A_{1} = \sqrt{2}$

Encontré el área de la norma $n$ -simplex moviendo primero el simplex de $\mathbb{R}^{n+1}$ a $\mathbb{R}^{n}$ .

Área del simplex estándar

Pregunta

Cómo integrar directamente sobre la norma $n$ -con las coordenadas de $\mathbb{R}^{n+1}$ ?

No puedo utilizar la fórmula de cambio de coordenadas porque el jacobiano de la transformación de $\mathbb{R}^{n}$ a $\mathbb{R}^{n+1}$ es rectangular.

Gracias.

Answer 1

Dejemos que $\Delta^n\subseteq \mathbb{R}^{n+1}$ sea la norma $n$ -simplemente: $$\Delta^n:=\big\{(x_0,x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}_{\geq 0}^{n+1}\,\big|\,x_0+x_1+x_2+\ldots+x_n=1\big\}.$$ Una función arbitraria $f:\Delta^n\to \mathbb{R}$ puede considerarse como una función en $n$ variables libres. Es decir, existe una única función $F:\Sigma^n\to \mathbb{R}$ tal que $$f(x_0,x_1,x_2,\ldots,x_n)=F(x_1,x_2,\ldots,x_n)$$ para todos $(x_0,x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\Delta^n$ , donde $$\Sigma^n:=\big\{(x_1,x_2,\ldots,x_n)\subseteq\mathbb{R}_{\geq 0}^n\,\big|\,x_1+x_2+\ldots+x_n\leq1\big\}\subseteq \mathbb{R}^n\,.$$ En otras palabras, $F$ viene dada por $$F(x_1,x_2,\ldots,x_n):=f\left(1-x_1-x_2-\ldots-x_n,x_1,x_2,\ldots,x_n\right)\,,$$ para todos $(x_0,x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\Delta^n$ . Es decir, si $\nu_n$ es la medida del volumen en $\Delta^n$ et $\lambda_n$ es la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^n$ entonces $$\int_{\Delta^n}\,f\,\text{d}\nu_n=\sqrt{n+1}\,\int_{\Sigma^n}\,F\,\text{d}\lambda_n\,.$$ Esto se debe a que $$\text{d}\nu_n(x_0,x_1,x_2,\ldots,x_n)=\sqrt{n+1}\,\text{d}\lambda_n(x_1,x_2,\ldots,x_n)$$ para todos $(x_0,x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\Delta^n$ (esto se puede demostrar utilizando el Determinante jacobiano ). En particular, si $f\equiv 1$ para que $F\equiv 1$ , entonces obtenemos $$\text{vol}_n\left(\Delta^n\right)=\sqrt{n+1}\,\text{vol}_n\left(\Sigma^n\right)=\frac{\sqrt{n+1}}{n!}\,,$$ donde $\text{vol}_n$ es el $n$ -volumen dimensional.

Para aclarar algunos puntos, primero hay que señalar que existe una isometría desde el hiperplano afín $$H^n:=\big\{(x_0,x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^{n+1}\,\big|\,x_0+x_1+x_2+\ldots+x_n=1\big\}$$ a $\mathbb{R}^n$ . Podemos tomar la isometría como el único mapa afín $\varphi:H^n\to\mathbb{R}^{n}$ que envía $e_0,e_1,e_2,\ldots,e_n\in\mathbb{R}^{n+1}$ a $$0,E_1+\alpha_n\, E,E_2+\alpha_n\, E,\ldots,E_n+\alpha_n\, E\in\mathbb{R}^n\,,$$ respectivamente, donde $e_0,e_1,e_2,\ldots,e_n$ son vectores base estándar de $\mathbb{R}^{n+1}$ , $E_1,E_2,\ldots,E_n$ son vectores base estándar de $\mathbb{R}^n$ , $E:=E_1+E_2+\ldots+E_n$ y $$\alpha_n:=\frac{\sqrt{n+1}-1}{n}\,.$$ Escribe $E_0:=-\alpha_n\,E$ . Sea $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ sea la única transformación lineal que envía $$E_1,E_2,\ldots,E_n\text{ to }E_1-E_0,E_2-E_0,\ldots,E_n-E_0\,,$$ respectivamente. Demostrar que $$\det(T)=1+n\,\alpha_n=\sqrt{n+1}\,.$$ La medida del volumen $\nu_n$ en $\Delta^n$ se hereda de la medida de volumen en $H^n$ , que es el retroceso $\varphi^*\lambda_n$ de $\lambda_n$ . Sin embargo, como $T$ mapea los puntos extremos $0,E_1,E_2,\ldots,E_n$ de $\Sigma^n$ a los puntos extremos $0,E_1-E_0,E_2-E_0,\ldots,E_n-E_0$ de $\varphi(H^n)$ es más sencillo tomar la integral en $\Sigma^n$ utilizando el Teorema del cambio de variables . Es decir, $$\begin{align}\text{d}\nu_n(x_0,x_1,\ldots,x_n)&=\text{d}(\varphi^*\lambda_n)\left(x_0,x_1,\ldots,x_n\right)\\&=\text{d}\lambda_n\big(\varphi\left(x_0,x_1,\ldots,x_n\right)\big)\\ &=\text{d}\lambda_n\left(x_1+\alpha_n\,\sum_{i=1}^n\,x_i,x_2+\alpha_n\,\sum_{i=1}^n\,x_i,\ldots,x_n+\alpha_n\,\sum_{i=1}^n\,x_i\right) \\&=\text{d}\lambda_n\big(T(x_1,x_2,\ldots,x_n)\big)\\&=\text{d}(T^*\lambda_n)(x_1,x_2,\ldots,x_n)\\&=\det(T)\,\text{d}\lambda_n(x_1,x_2,\ldots,x_n)\\&=\sqrt{n+1}\,\text{d}\lambda_n(x_1,x_2,\ldots,x_n)\end{align}$$ para todos $(x_0,x_1,\ldots,x_n)\in\Delta^n$ .