¿Es una función Delta? (¿y Delta como límite de la Gaussiana?)

Question

Tengo un conjunto de usuarios que generan llamadas. Si asigno la misma probabilidad a cada usuario, tienen idéntica probabilidad de generación de llamadas que puede definirse como $\delta$ . Estos llamadores se eligen de manera uniforme entre el conjunto de usuarios. Al final del proceso de generación, la representación de la función de densidad de probabilidad de las tasas de llamadas debe ser una función delta (de ahí que la forma sea similar a una campana, ¿no?)

La probabilidad i asignada a cada usuario es: $$p_u = \frac{\lambda}{\sum_{i \in N_u} \lambda}$$

donde $\lambda = \frac{1}{N_u}$ y $N_u$ es el número de usuarios. De este modo, se reparten equitativamente entre 0 y 1 y puedo tomar un número aleatorio distribuido uniformemente para seleccionar un usuario al azar.

Mi pregunta es ¿cómo puedo demostrar que se trata realmente de una función Delta? La información que escribí es suficiente para definir la función Delta (no sé si es posible formalizar la f.d.p.)?

Por ejemplo en la figura tenemos 10000 que tiene la misma probabilidad de generación: si genero ca. 605000 llamadas, la media es de unas 60,5 llamadas por usuario

Answer 1

¿alguien puede explicarme algo sobre el hecho de que la función Delta sea considerada como un límite de la Gaussiana?

Las medidas de probabilidad delta son límites de las medidas de probabilidad gaussianas (no degeneradas) y, de hecho, se suele definir la clase de medidas de probabilidad gaussianas como la unión de la clase de medidas de probabilidad gaussianas de varianza positiva y de la clase de medidas de probabilidad de Dirac.

Es decir, las medidas de probabilidad Delta SON Gaussiano.

Una razón es simple, y es que toda medida de probabilidad Delta $\delta_x$ es el límite de las medidas de probabilidad gaussianas (no degeneradas) $N(x,\sigma^2)$ cuando $\sigma^2\to0$ :

Para ver esto, recordemos que la distribución de $X$ es $\delta_x$ si $P(X\in B)=1$ cuando $x\in B$ y $P(x\in B)=0$ cuando $x\notin B$ y que la distribución de $Y_\sigma$ es $N(x,\sigma^2)$ si la densidad de esta distribución es la función que se conoce o, de forma equivalente, si $Y_\sigma$ se distribuye como $x+\sigma Z$ donde la distribución de $Z$ es $N(0,1)$ . En consecuencia, para cada positivo $t$ , $$ P(|Y_\sigma -x|\ge t)=P(|x+\sigma Z-x|\ge t)=P(|Z|\ge t/\sigma). $$ Se ve que esto va a $0$ cuando $\sigma^2\to0$ y, asimismo, que $P(|Y_\sigma -x|\le t)\to1$ . Desde $P(|X -x|\ge t)=0$ y $P(|X -x|\le t)=1$ , $Y_\sigma$ converge (en la distribución) a $X$ .

Otra razón (relacionada) para incluir las medidas de probabilidad de Dirac es la caracterización de la gaussiana familias :

Para ver esto, recordemos que la variable aleatoria vectorial $X=(X_1,\ldots,X_n)$ es gaussiana si cada combinación lineal $w\cdot X=w_1X_1+\cdots+w_nX_n$ de sus coordenadas es gaussiana (de valor real). Aquí también se puede caer en variables aleatorias gaussianas degeneradas, por ejemplo, si $X_1$ es $N(0,1)$ Uno quiere $X=(X_1,X_2,X_3)$ sea gaussiano para $X_2=2X_1$ y $X_3=3X_1-4$ De ahí que uno se alegre de que $2X_1-X_2=w\cdot X$ para $w=(2,-1,0)$ es gaussiana aunque su distribución es $\delta_0$ y también que $3X_1-X_3=v\cdot X$ para $v=(3,0,-1)$ es gaussiana aunque su distribución es $\delta_4$ .

En resumen, la gaussianidad es (y debe ser) una cerrado propiedad cuando se consideran los límites en la distribución y las combinaciones lineales de variables aleatorias.

Answer 2

Tengo una explicación algo más analítica de por qué la distribución delta es un límite de Gaussianas que la de @Did.

La distribución delta no es más que una función lineal definida en el espacio de las funciones de prueba $C_c^\infty(\mathbf R^d)$ . Viene dada por el siguiente binomio de dualidad $$\left<\delta, \phi\right> = \phi(0).$$

Esta opinión se debe a Laurent Schwartz, un matemático fabuloso.

Ahora $\langle f, g\rangle = \int fg$ . Así, podemos ver que una secuencia de gaussianos (hay muchos otros también) se aproxima a la distribución delta de la siguiente manera:

Definir $s_m(x) = \sqrt{\frac{m}{\pi}} e^{-m x^2}$ nuestra secuencia de Gaussianos.

Ahora podemos demostrar que para una función acotada e integrable $\phi$ que es continua en $0$ (por lo que una función de prueba ciertamente satisface esto) tenemos que

$$\lim_{m \to \infty} \int_{-\infty}^{\infty} \sqrt{\frac{m}{\pi}} e^{-m x^2} \phi(x) \, dx = \phi(0).$$

Tenemos

$$\int_{-\infty}^{\infty} \sqrt{\frac{m}{\pi}} e^{-m x^2} \phi(x) \, dx = \phi(0) + \int_{-\infty}^{\infty} \sqrt{\frac{m}{\pi}} e^{-m x^2} (\phi(x) - \phi(0)) \, dx$$

Por la acotación $\phi$ podemos demostrar que la segunda integral llega a cero escribiendo la integral como $\int_{-\infty}^A + \int_A^\infty + \int_{-A}^A$ para algún número finito $A > 0$ . La continuidad ayudará a que la última integral sea arbitrariamente pequeña.

Para mí, lo siguiente facilitó la comprensión: La distribución delta (o función, lo que quieras) es una función, pero no en la línea real. Es una función lineal en el espacio de las funciones de prueba.

Answer 3

Aquí hay cierta confusión.

Cuando dices "Si asigno la misma probabilidad a cada usuario, tienen idéntica probabilidad de generación de llamadas que puede definirse como $\delta$ ", lo interpreto como: "En una hora determinada, la probabilidad de que un usuario llame es $\delta$ independientemente de lo que hagan los demás usuarios durante esa hora". Según este modelo, el número $X$ de usuarios que llaman en una hora determinada es $\ {\it binomially\ distributed}$ lo que significa que el trazado de cada $k$ en el $x$ -eje la probabilidad de que exactamente $k$ usuarios llamarán durante esa hora, verá una escalera en forma de campana con pico en $x=N\delta$ , donde $N$ es el número total de usuarios.

Utilizando la carta $\delta$ para una determinada probabilidad no significa que el " $\delta$ -función", que es algo oficial, está implicada per se. Mientras se trate de números razonables, como en tu ejemplo, sigues estando en el mundo de los gaussianos, el límite de tales escaleras. En la planificación de la demanda (por ejemplo, de camas de hospital) tendrás que lidiar con la amplitud de estos gaussianos.

Ahora, el programa oficial " $\delta$ -La "función" tiene anchura cero; pero sí puede pensarse en un límite de Gaussianas. No voy a entrar en los detalles aquí, pero si dejas que el número $N$ de los usuarios van a $\infty$ en la misma escala de tiempo sus intervalos de tiempo ( $1$ hora en su ejemplo) de forma adecuada, entonces verá que la gaussiana resultante converge a un $\delta$ -función. En un sentido intuitivo, esto no es más que la ley de los grandes números.