Resolver una integral para $\pi^2/6$

Question

Así que el valor anterior es el resultado de la integral $$ \int_0^1 \int_0^1 \frac{{\rm d}x {\rm d}y}{1-xy} \, . $$ Estoy jugando a encontrar una sustitución para la que esta integral sea realmente resoluble en términos de funciones elementales.

¿Alguien sabe de uno o más?

edit: En realidad he encontrado una sustitución en Proof3 de http://math.cmu.edu/~bwsulliv/basel-problem.pdf pero creo que hay otros.

Answer 1

No sé si se puede resolver usando sólo funciones elementales, pero sí sé que se puede resolver de la siguiente manera:

$$\int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x y}dxdy = \int_0^1 -\frac{\log{\left(1-y\right)}}{y}+\frac{\log{\left(1\right)}}{y} dy= \int_0^1 -\frac{\log{\left(1-y\right)}}{y}dy$$

Esto se puede integrar y se convierte en el función polilogaritmo :

$$\text{Li}_2\left(y\right) \\ \text{Li}_2\left(1\right) = \frac{\pi^2}{6} \\ \text{Li}_2\left(0\right)=0 \\ \frac{\pi^2}{6}-0=\frac{\pi^2}{6}$$