ideales del anillo $A $

Question

Dejemos que $A=\mathbb{R}[X]/\langle X^n\rangle$ . Demostrar que $A$ admite $n-1$ ideales adecuados.

Lo sé:

$$ A = \{a_0+a_1x+\dots+a_{n-1}x^{n-1} : a_i \in\mathbb{R}\} $$ y $$I_i=\langle x^i\rangle $$ para $i=1,\dots,n-1$ son ideales propios de $A $ . Pero, ¿cómo puedo demostrar que ella es única?

Answer 1

Pista 1 Si $I$ es un ideal en $\mathbb{R}[X]/\langle X^n\rangle $ entonces existe un ideal $J$ en $\mathbb{R}[X]$ tal que $\langle X^n\rangle \subseteq J$ tal que $I=J/ \langle X^n\rangle $ .

Pista 2 $\mathbb{R}[X]$ es un PID.

Pista 3: Para los polinomios $P,Q \in \mathbb{R}[X]$ tienes $\langle P \rangle \subseteq \langle Q\rangle $ si y sólo si $Q$ divide $P$ .

Answer 2

Un ideal de $\mathbb{R}[X]/(X^n)$ corresponde a un ideal $I=(P)$ de $\mathbb{R}[X]$ tal que $(X^n)\subseteq I$ donde $P$ es un polinomio ( $I$ es principal porque $\mathbb{R}[X]$ es un PID). Por lo tanto, hay un polinomio $Q$ tal que $X^n=PQ$ . Escribir $P=\sum a_iX^i$ y $Q=\sum b_jX^j$ la ecuación $X^n=PQ$ dice que el término de grado $0$ del producto $PQ$ es cero, es decir, $a_0b_0=0$ . Así, $a_0=b_0=0$ . Hay $i,j$ tal que $a_i\neq0, b_j\neq0$ y $i+j=n$ . Por inducción se puede comprobar que $a_l=0$ para $l<i$ y $a_i=1$ . Con un argumento similar se puede comprobar que $a_p=b_q=0$ , donde $p$ y $q$ son los grados del $P$ y $Q$ respectivamente, y que $a_l=0$ para $l>i$ . Este argumento implica que $P=X^i$ .