Estoy tratando de determinar las extensiones de $\mathbb{Z}/m$ por $\mathbb{Z}/n$ para coprime $m,n$ . No estoy seguro de cómo encontrar las extensiones explícitamente. ¿Cuál es el procedimiento general? O cuál es el procedimiento demostrado en algún ejemplo como $\mathbb{Z}/7$ por $\mathbb{Z}/4$ ? ¿Y cuando $m=n$ ¿digamos m=3?
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janmarqz
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Cualquier grupo $E$ que se puede colocar en $$0\to\mathbb{Z}_m\stackrel{\alpha}\to E\stackrel{\beta}\to\mathbb{Z}_n\to0$$ donde el $\alpha$ es inyectiva y $\beta$ es suryente, puede considerarse una extensión de $\mathbb{Z}_m$ por $\mathbb{Z}_n$ y hay, al menos, dos tipos de soluciones, su suma directa $E=\mathbb{Z}_m\times\mathbb{Z}_n$ , y productos semidirectos $E=\mathbb{Z}_m\times_{\varphi}\mathbb{Z}_n$ .
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Recuperar una prórroga $0 \to K \to G \to Q \to 0$ depende no sólo de la clase en $\text{Ext}^1(Q,K)$ pero también sobre la acción $Q \curvearrowright K$ .
Así que primero queremos entender cómo $Q$ puede actuar sobre $K$ . Para nosotros, eso significa $\mathbb{Z}/n = \langle x \mid x^n = 1 \rangle$ actuando sobre $\mathbb{Z}/m = \langle y \mid y^m = 1 \rangle$ . Por supuesto, ¿qué es una acción? No es difícil ver que un automorfismo de $\mathbb{Z}/m$ está determinada por la imagen de $y$ . Es decir, debe parecer $y \mapsto y^k$ para $k$ coprima a $m$ . 1
A continuación, examinamos $\text{Ext}^1(\mathbb{Z}/m,\mathbb{Z}/n)$ que (como hemos dicho) es en realidad igual a $0$ . Puede encontrar una prueba de ello ici pero puedes encontrar muchos más ejemplos de este cálculo buscando en Google.
Ahora, el $0$ elemento de $\text{Ext}^1(Q,K)$ corresponde a la extensión dividida $Q \ltimes K$ . Obsérvese de nuevo que hemos tenido que fijar una acción de $Q$ en $K$ antes, por lo que este producto semidirecto tiene sentido.
Puedes dejar las cosas aquí. Después de todo, los productos semidirectos de grupos cíclicos se entienden bien. Pero también podemos terminar el cálculo y obtener una respuesta muy concreta:
Si nuestro automorfismo es el mapa $y \mapsto y^k$ , entonces obtenemos el grupo
$$\langle x, y \mid x^n = 1, y^m = 1, x^{-1}yx = y^k \rangle.$$
Observe nuestra acción de $\mathbb{Z}/n$ en $\mathbb{Z}/m$ ¡se ha convertido en la acción de conjugación! Esto es lo normal. Siempre que tengamos una extensión $0 \to K \to G \to Q \to 0$ La acción de $Q$ en $K$ se convierte en la acción de conjugación en $G$ . Conviene recordarlo cuando se hacen cálculos concretos con extensiones de grupos.
Por último, como señala el otro contestador en los comentarios, podemos simplificar ligeramente cuando trabajamos con grupos abelianos. Si queremos que el grupo final $G$ para ser abeliano, necesitamos saber que $yx = xy$ . Es decir, $x^{-1}yx = y$ . ¡Así que la única opción disponible en ese escenario es la acción trivial! Así, la única extensión abeliana es el producto directo $\mathbb{Z}/m \times \mathbb{Z}/n$ .
1 : Por supuesto, no todos los $k$ obras. Para que esto sea una acción de $\mathbb{Z}/n$ necesitamos saber que $\mathbb{Z}/n \to \text{Aut}(\mathbb{Z}/m)$ envía $x \mapsto (y \mapsto y^k)$ que sólo puede ocurrir si $(y \mapsto y^k)$ tiene un orden que divide $n$ .
Espero que esto ayude ^_^
