Si $17! = 355687\underline{ab}8096000$. Entonces es el valor de $(a,b)$

Question

1. Si $17! = 355687\underline{ab}8096000$, ¿cuál es el valor de $(a,b)$?

2. Si $34! = 295232799\underline{cd}9604140847618609643\underline{ab}0000000$, ¿cuál es el valor de $(a,b,c,d)$?

Mi Intento:

Sabemos que

$$ 17! = 1\times 2 \times 3 \times 4 \5 veces\times 6\times 7\8 \9 veces\10 \11\times 12\times 13\14\times 15\times 16\times 17 $$

Así, la CARTA debe ser divisible por $3$,$7$, o $11$.

Paso 1: Divisibilidad por $3$

Sabemos que para algunos $K\in\mathbb{N}$

$$ \begin{align} K&=\frac{3+5+5+6+8+7+a+b+8+0+9+6+0+0+0}{3}\\ &=\frac{57+a+b}{3}\\ &= 19+\frac{a+b}{3} \end{align} $$

Por lo tanto, $0\leq a+b\leq 18$, lo que implica que $(a+b) \in\{0,3,6,9,12,15,18\}$.

Paso 2: Divisibilidad por $11$

Sabemos que para algunos $L\in\mathbb{N}$

$$ \begin{align} L&=\frac{(3+5+8+a+8+9+0+0)-(5+6+7+b+0+6+0)}{11}\\ &=\frac{9+a-b}{11}\\ \end{align} $$

Esto implica que $a-b=2$ o $b-a=9$, y por lo tanto tenemos que resolver para$a-b = 2$$(a+b) \in\{6,12\}$. Por lo tanto,$(a,b) \in\lbrace{(4,2),(7,5)\rbrace}$. De nuevo tenemos que resolver para$b-a=9$$b+a\in\{3,9\}$, dando $(a,b)\in\{ (3,6),(0,9)\}$.

Así que terminamos con $(a,b) \in\{(4,2),(7,5),(0,9)\}$. Pero la respuesta dada es $(a,b) = (4,2)$. ¿Qué hice mal?

Answer 1

Para evitar preguntas sin respuesta, voy a compilar los consejos de los comentarios de aquí, junto con un poco de más.

En lugar de utilizar la divisibilidad por $3$, el uso de divisibilidad por $9,$, por lo que en realidad podemos concluir que $\frac{57+a+b}{9}=6+\frac{3+a+b}9$ es un número entero. Desde $0\le a+b\le 18,$ luego de ello se deduce que, o bien $a+b=6$ o $a+b=15$.

Como con su trabajo, también podemos concluir que el $a-b=2$ o $b-a=9$. El último, sin embargo, es imposible, ya que $b\le 9$$a\ge 0,$, de modo que $b-a=9$ si y sólo si $b=9$$a=0,$, en cuyo caso, $a+b\ne 6,15.$ por lo Tanto, tenemos $a-b=2.$ a partir De esto, se deduce que $a,b$ son ambos impares, o ambos inclusive, y en cualquier caso, $a+b$ serán aún. Por lo tanto, $a+b=6,$, por lo que desde $a-b=2,$ luego resolver el sistema nos da $(a,b)=(4,2)$.

Su segunda pregunta fue previamente respondidas aquí. Calvin Lin responder, en particular, parece muy accesible.