Definición de "grado cero" en la localización de un anillo graduado

Question

Dejemos que $S$ sea un anillo graduado y $f$ es un elemento de grado $d>0$ . Entonces $S_{(f)}$ se define como el subring de elementos de grado $0$ en el anillo localizado $S_{f}$ (Hartshorne, pp. 77). Pero la definición parece tener un problema.

Supongamos que el anillo graduado $S$ no es un dominio, y $fy=0$ para algún elemento no nulo $y$ . Entonces $\frac{x+y}{f^n}=\frac{x}{f^n}\in S_f$ para cada $x\in S$ y $n\in\mathbb N$ . Cuando $\text{deg}(x)=nd\ne \text{deg}(y)$ ¿se incluye el elemento anterior en $S_{(f)}$ ?

Answer 1

Sí. Para que un elemento de la localización sea homogéneo de algún grado, basta con que puede ser representado por una fracción homogénea de ese grado. No es necesario que cada representación como una fracción es homogénea de ese grado.