Forma canónica de Jordan de la matriz sobre un campo arbitrario

Question

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo $\mathbb{K}$ y $T \in \text{End}(V)$ . Para una base ordenada $\mathcal{B}$ ¿la matriz $[T]_\mathcal{B}$ siempre tienen una forma jordana, o deben $\mathbb{K}$ ¿se requiere que sea algebraicamente cerrado?

Si no, para $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ y $V=\mathbb{R}^2$ ¿Cuál sería la forma de Jordan de una matriz de rotación

$ R = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\\ \end{pmatrix} $

ya que no tiene valores propios en $\mathbb{R}$ ?

Answer 1

Es fácil comprobar que una forma de Jordan tiene sus valores propios en su diagonal. Y que la forma de Jordan de un $n\times n$ matriz $A$ tiene los mismos valores propios que $A$ . En conclusión, para tener una forma de Jordan, se necesita que todos los valores propios existan en el campo. Más explícitamente, se necesita poder factorizar el polinomio característico de $A$ como $p(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_n)$ .

Como usted menciona, la matriz $$ \begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix} $$ no tiene forma de Jordan sobre $\mathbb R$ .