Espacio de clasificación de una extensión de grupo

Question

Considere una secuencia exacta corta de grupos abelianos -- me alegra asumir que son finitos como un ejemplo de juguete: $$ 0 \to H \to G \to G/H \to 0\ . $$

Quiero entender el espacio de clasificación de $G$ . Desde $BH \cong EG/H$ , $G/H$ actúa sobre $BH$ y podemos escribir $BG \cong E(G/H) \times_{G/H} EG/H$ . Así, tenemos un haz de fibras (que escribiré en horizontal) $$ BH \to BG \to B(G/H) $$

Por otro lado, la extensión central está clasificada por un elemento de la cohomología del grupo $H^2(G/H,H)$ que es lo mismo que $H^2(B(G/H),H)$ . Este último es un elemento de la clase de homotopía de los mapas $[B(G/H),K(H,2)]$ y $K(H,2)\cong BBH$ . Este mapa parece que clasifica a un director $BH$ haz de la mano sobre $B(G/H)$ . Me resulta difícil imaginar que este "director $BH$ no es "el mismo" que el de arriba, así que la pregunta es: ¿cómo lo ves? A partir de esta construcción, ni siquiera me parece obvio que el haz de arriba sea un haz principal.

Supongo (y siendo un pobre físico, no estoy muy al tanto de mi teoría de la homotopía), que hay un sentido en el que el espacio clasificatorio de un grupo abeliano es un 'grupo abeliano', y tomando los espacios clasificatorios de una secuencia exacta te devuelve una 'secuencia exacta'. Eso te da un 'haz principal' (¿no son divertidas las comillas?), pero incluso entonces no estoy seguro de cómo ver que el mapa clasificador de este haz es el mismo que la clase en cohomología de grupo.

Cualquier referencia a los antecedentes necesarios también sería muy apreciada.

Answer 1

Sí. Los paquetes principales son los mismos y su suposición de que $BA$ es un grupo abeliano es exactamente correcto. Una buena referencia para esta historia, y del resultado de Segal que cita David Roberts, es el artículo de Segal:

G. Segal. Cohomology of topological groups, Symposia Mathematica IV (1970), 377- 387.

Los funtores $E$ y $B$ puede describirse en dos pasos. Primero se forma un espacio topológico simplicial y luego se realiza este espacio. Es fácil ver directamente que $EG$ es siempre un grupo y que hay una inclusión $G \rightarrow EG$ que induce la acción. El cociente es $BG$ . En condiciones adecuadas, por ejemplo si $G$ es localmente contractible (lo que incluye el caso discreto), el mapa $EG\rightarrow BG$ admitirá secciones locales y así $EG$ será un $G$ -bienestar principal sobre $BG$ . Esto se demuestra en el apéndice del documento de Segal, arriba. Hay otras condiciones (bien señaladas) que harán una cosa similar.

La inclusión de $G$ en $EG$ es un normal subgrupo precisamente cuando $G$ es abeliana, por lo que en este caso $BG$ es de nuevo un grupo abeliano.

Creo que tu pregunta se refería implícitamente al entorno discreto, pero el entorno no discreto es relevante y es el tema del artículo de Segal. A grandes rasgos, ésta es la respuesta: Dado un grupo abeliano (topológico) $H$ El $BH$ -haciendo haces príncipes sobre un espacio $X$ se clasifican por las clases de homotopía de los mapas $[X, BBH]$ . Cuando $H$ es discreto, $BBH = K(H,2)$ . Si $X = K(G,1)$ para un grupo discreto $G$ , éstas corresponden a extensiones de grupos (centrales):

$$H \rightarrow E \rightarrow G$$

Si $G$ tiene topología, entonces las extensiones de grupo pueden ser más interesantes. Por ejemplo, puede haber extensiones de grupo no triviales que sean triviales como haces principales. Un ejemplo fácil existe cuando H es un grupo contráctil. Sin embargo, Segal desarrolló una teoría de cohomología que clasifica todas estas extensiones. Este es el tema de su artículo.

Answer 2

Tu imagen es esencialmente correcta, excepto que necesitas especificar que los mapas toman puntos base a puntos base (es decir, son mapas puntuales).

BG está dada como la fibra homotópica de un mapa punteado de B(G/H) a BBH. Aplicando el functor de espacio de bucle basado $\Omega$ a los mapas puntuales produce la secuencia de homomorfismos de grupo. Esto no requiere que G sea abeliano. Hay una subclase de extensiones centrales abelianas, que son las que pueden ser deloopadas de nuevo a mapas de BB(G/H) a BBBH.

En general, los homomorfismos de grupo pueden ser deloopados una vez a mapas de espacios puntuales, mientras que los homomorfismos de grupo abelianos pueden ser deloopados arbitrariamente muchas veces, a mapas de bucles infinitos de espacios de bucles infinitos. Existe una equivalencia entre los espacios conmutativos de homotopía de grupo y los espacios de doble bucle, pero como G es discreto, la propiedad de los espacios de doble bucle se estriñe de forma gratuita.

Editar: Una referencia estándar para este material es el segundo capítulo de Adams, Espacios de bucle infinito .

Answer 3

@Hay una equivalencia entre los espacios conmutativos homotópicos de grupo y los espacios de doble bucle

No, la homotopía conmutativa de grupo no es suficiente. Los espacios de doble bucle tienen muchas más homotopías superiores, incluso si el espacio tuviera una estructura homotópica conmutativa estrictamente asociativa. Esa fue una de las motivaciones de las operadas. Véase también JF Adams: 10 types of H-spaces.

Answer 4

Una respuesta rápida y sucia es que si consideramos los grupos como groupoides de un solo objeto, vuelven a formar una secuencia exacta corta de groupoides, y la realización geométrica de esta secuencia es la $BH$ paquete que mencionas. $BH$ es un subgrupo cerrado (normal) de $BG$ por un resultado de Segal, por lo que lo único que hay que comprobar para que sea un fardo principal es que $BG \to B(G/H)$ admite secciones locales. Creo que esto es cierto porque los grupos implicados son discretos y, por tanto, bien delimitados - la inclusión de la identidad es una cofibración cerrada (un artículo de Baez y Stevenson tiene cálculos relevantes para grupos topológicos en un contexto diferente).