¿Cómo convertir esto en forma de weiestrass? $x^{2}y^{2}-2\left( 1+2\rho \right) xy^{2}+y^{2}-x^{2}-2\left( 1+2\rho \right) x-1=0$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Se puede reescribir el formulario como \begin{equation*} y^2=\frac{x^2+2(2\rho+1)x+1}{x^2-2(2\rho+1)x+1} \end{equation*} por lo que, para las soluciones racionales (que supongo que quieres), existe $z \in \mathbb{Q}$ con \begin{equation*} z^2=(x^2+2(2\rho+1)x+1)(x^2-2(\rho+1)x+1)=x^4-2(8\rho^2+8\rho+1)x^2+1 \end{equation*}
Esta cuártica puede transformarse en una curva elíptica equivalente utilizando el método descrito por Mordell en su libro Diophantine Equations. Obtenemos (después de un poco de manipulación) \begin{equation*} v^2=u(u+4\rho^2+4\rho)(u+4\rho^2+4\rho+1) \end{equation*} con $x=v/u$ .
Por ejemplo, $\rho=11$ da un rango $1$ curva elíptica con punto $(147,8190)$ , dando $x=8190/147$ y $y=\pm 527/163$ .
Esta curva elíptica podría transformarse a la forma Weierstrass si se quiere, pero la forma anterior es probablemente más útil.
