Logaritmo y singularidad

Question

Arreglar $b>1, y>0$ y demostrar que existe un único real $x$ tal que $b^x = y$ . Así que por la singularidad, $x_1 < x_2 \Rightarrow b^{x_1} < b^{x_2}$ . A continuación, considere el conjunto $S = \{b^t: t \leq x \}$ ¿y trabajar a partir de ahí?

Fuente: Capítulo 1, problema 7, Principios del análisis matemático por Rudin

Answer 1

En realidad, la prueba es bastante fácil siguiendo su esquema:

(a) Lema: Para cualquier número entero positivo $n$ , $b^n -1 \geq n(b-1)$

Prueba: Supongamos que esto se cumple para $n$ . Entonces $b^n-1\geq n(b-1)\geq n/b(b-1)$ ya que $b>1$

Entonces $b^{n+1} \geq n(b-1)+b$ y así $b^{n+1}-1 \geq n(b-1)+(b-1)$ Por lo tanto $b^{n+1}-1\geq (n+1)(b-1)$ . Desde $b^n -1 \geq n(b-1)$ se mantiene para $n=1$ por inducción se mantiene para cualquier $n$ .

(b) Por lo tanto, $b-1 \geq n(b^{1/n}-1)$ si aplicamos el lema estableciendo $b' =b^n$ ( $b'>1$ desde $b>1$ ).

(c) Si $t>1$ y $n>\frac{b-1}{t-1}$ entonces $b^{1/n} < t$ .

Prueba: Dado que $n>\frac{b-1}{t-1}$ entonces $n(t-1)>(b-1)\geq n(b^{1/n}-1)$ . De ello se desprende que $b^{1/n} <t$ .

(d) Si $b^w<y$ entonces $b^{w+(1/n)}<y$ para un tamaño suficientemente grande $n$ .

Si ponemos $t=y/b^w$ vemos que $t>1$ y podemos elegir un número suficientemente grande de $n$ tal que $n >\frac{b-1}{t-1}$ . Debido a (c) sabemos que $b^{1/n}<t$ . Multiplica ambos lados por $b^w$ para conseguir $b^{w+1/n}<y$ que es lo que queríamos probar.

(e) Si $b^w>y$ entonces $b^{w-(1/n)}<y$ para un tamaño suficientemente grande $n$ .

Si ponemos $t=b^w/y$ vemos que $t>1$ y podemos elegir un número suficientemente grande de $n$ tal que $n >\frac{b-1}{t-1}$ . Debido a (c) sabemos que $b^{1/n}<t$ . Entonces $1<\frac{t}{b^{1/n}}$ Así que $1<\frac{b^w}{yb^{1/n}}$ y por lo tanto $y<b^{w-(1/n)}$ .

(f) Que $A = \{w : b^w<y\}$ , entonces si $x=\sup A$ , $b^x = y$ .

Desde $b>1, y>0$ eligiendo un tamaño suficientemente pequeño $w$ nos acercará arbitrariamente a $0$ Así que $A$ no está vacía. Como $b^w>y$ para un tamaño suficientemente grande $w$ , $A$ está acotado por encima, y debido a $A$ siendo un subconjunto de $\mathbb{R}$ entonces $\exists\sup A$ .

Arreglar $x = \sup A$ . Supongamos que $b^x < y$ , entonces por (d), $b^{x+(1/n)}<y$ para algunos $n$ . Pero entonces $x+1/n > x$ y $x+1/n \in A$ , lo cual es una contradicción.

Supongamos que $b^x > y$ , entonces por (e), $b^{x-(1/n)}>y$ para algunos $n$ . Pero entonces $x-(1/n)$ es un límite superior de $A$ más pequeño que $x$ , lo cual es una contradicción.

Por lo tanto, si $x=\sup A$ entonces $b^x=y$

(g) La unicidad de $x$ se deduce del hecho de que no puede haber dos límites mínimos superiores diferentes para el mismo conjunto $A$ .

Se agradecen los comentarios, gracias.

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Answer 2

Sí, si demuestran que $x\mapsto b^x$ es estrictamente creciente, lo que demostrará que existe como máximo una solución.

Sin embargo, su propuesta con $S$ no funciona realmente porque lo que se busca es $x$ ya que no se sabe de antemano lo que $x$ es, no se puede definir $S$ ¡en primer lugar!

En su lugar, considere el conjunto $S = \{ r\in\mathbb{Q} \mid b^r\leq y\}$ (o $\{r\in\mathbb{R}\mid b^r\leq y\}$ ).