¿Un libro sobre espacios anillados localmente?

Question

¿Existen suficientes resultados interesantes para los espacios anillados locales en general como para escribir un libro? Si los hay, ¿conoces algún libro? Si lo conoces, por favor, publícalo, uno por respuesta y una breve descripción.

Creo que las etiquetas son relevantes, pero siéntase libre de cambiarlas.

Además, ¿se ha intentado clasificar los espacios anillados localmente? Ciertamente, dos grandes clases de espacios localmente anillados son los esquemas y los colectores, pero esto todavía no cubre todos los espacios localmente anillados.

Answer 1

Un espacio localmente anillado no es más que un objeto de anillo local (en el sentido interno) en una categoría de gavillas sobre un espacio topológico, que resulta ser un ejemplo de topos.

Así pues, para estudiar las propiedades generales de los espacios anillados localmente, se podría proceder estudiando las propiedades de los objetos anillados locales en topoi arbitrarios. Como cualquier proposición (en el lenguaje interno) sobre un anillo local (un anillo conmutativo con $0 \neq 1$ y $s + t = 1 \implies s \in R^\times \lor t \in R^\times$ ) es verdadera para cualquier topos si y sólo si se puede derivar intuitivamente (que es más o menos lo mismo que constructivamente), las preguntas originales parecen reducirse a:

"¿Cuáles son las propiedades y construcciones constructivamente válidas para un anillo local?"

Por ejemplo, la construcción de diferenciales de Kähler también tiene sentido constructivo, lo que implica inmediatamente (por el razonamiento anterior) que todo morfismo $X \to Y$ de espacios localmente anillados tiene un módulo asociado $\Omega_{X/Y}$ de los diferenciales de Kähler.

Y hay mucha literatura sobre el álgebra constructiva. El libro de Mines, Richman y Ruitenburg así como muchos de los preprints en la página web de Fred Richman son un comienzo. También se puede encontrar algo de material en "Sheaves in Geometry and Logic" de Mac Lane y Moerdijk.

Answer 2

Además de los ejemplos mencionados en la pregunta, de los colectores y los esquemas, otros tipos de espacios localmente anillados que se dan con frecuencia son los esquemas formales y los espacios analíticos complejos.

No sé cómo de extensa es la taxonomía de los espacios localmente anillados. Por ejemplo, si $A$ es un anillo local, podemos formar el espacio localmente anillado que consiste en un solo punto, con $A$ sentado encima. Estos son los espacios anillados localmente más simples topológicamente (después del espacio vacío). Si $A$ es un campo, se obtiene un esquema. Si $A$ es un anillo local completo, se obtiene un esquema formal. En general, esto no encaja en ninguna agrupación taxonómica particular que yo conozca.

Por cierto, cabe mencionar que las distintas clases taxonómicas pueden interactuar: por ejemplo, la analítica de esquemas sobre ${\mathbb C}$ se describe convenientemente en términos de mapas (en la categoría de espacios localmente anillados) a espacios analíticos complejos.

Answer 3

Introducción a las familias, deformaciones y módulos de T.E. Venkata Balaji, tiene un pequeño y bello apéndice que introduce los colectores lisos, los colectores complejos, los esquemas y los espacios analíticos complejos de forma unificada como espacios localmente anillados. Aunque no dice mucho en general sobre los espacios arbitrarios anillados localmente, disfruté leyéndolo y viendo cómo las cosas que sabía sobre clases particulares de espacios anillados localmente encajaban en el marco general. Una cosa que me llamó especialmente la atención, aunque es obvia en retrospectiva, fue la observación (A.5.5) de que para todas las categorías de espacios mencionadas anteriormente, un morfismo definido clásicamente es lo mismo que un morfismo de espacios localmente anillados.