el conjunto mínimo incontable bien ordenado $S_\Omega$ y el lema de la secuencia (ejemplo 3, sec 28 en la topología de Munkres)

Question

En primer lugar

¿Cómo demostrar que $S_\Omega$ satisface el lema de la secuencia? Munkres dice que "se puede comprobar fácilmente", pero a mí no me resulta fácil.

Segundo

¿Cómo es que el hecho de que no haya una secuencia de $S_\Omega$ convergiendo a $\Omega$ implican que $\overline{S_\Omega}$ no satisface el lema de la secuencia? Entiendo que no hay ninguna secuencia de $S_\Omega$ convergiendo a $\Omega$ . Pero $\overline{S_\Omega}$ contiene $\Omega$ Así que si $x_n=\Omega$ para cada número entero positivo $n$ no es $(x_n)$ una secuencia de $\overline{S_\Omega}$ convergiendo a $\Omega$ ? Si estoy en lo cierto, creo que deberíamos intentar un contraejemplo (o prueba) diferente

Este es el lema de la secuencia

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico, sea $x \in X$ y que $A \subset X$ . Si existe una secuencia de puntos de $A$ convergiendo a $x$ entonces $x \in \overline{A}$ . Por el contrario, si $X$ es metrizable y si $x \in \overline{A}$ entonces hay una secuencia de puntos de $A$ convergiendo a $x$ .

Answer 1

Para la segunda pregunta, la secuencia constante para $\Omega$ no es una secuencia de puntos en $S_\Omega$ porque $\Omega$ no pertenece a ese conjunto.

Si sustituye $A$ con $S_\Omega$ , $x$ con $\Omega$ y $X$ con $S_\Omega \cup \{\Omega\}$ en el enunciado del lema de la secuencia, verás que falla la inversa. Si $S_\Omega \cup \{\Omega\}$ fuera metrizable, podríamos elegir una secuencia $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ (cuyos puntos están en $S_\Omega$ ) que converge a $\Omega$ . Tiene una subsecuencia estrictamente creciente $(y_n)_{n\in\mathbf{N}}$ y $\Omega$ es el mínimo límite superior de esta subsecuencia. El conjunto $\bigcup_{n\in\mathbf{N}} S_{y_n}$ es una unión contable de conjuntos contables contenidos en $S_\Omega$ por lo que no puede ser igual al incontable $S_\Omega$ . Esto implica que hay una $B$ sur $S_\Omega$ que no está en esta unión, y esta $B$ será un límite superior para nuestra subsecuencia. De ello se desprende que $B < \Omega$ pero esto contradice el hecho de que $\Omega$ es el menos límite superior para esta subsecuencia. Por lo tanto, el espacio $S_\Omega \cup \{\Omega\}$ no es metrizable.

Mutatis mutandis El argumento anterior es exactamente la razón por la que el espacio $S_\Omega$ hace satisfacen el lema de la secuencia, y eso debería resolver la primera cuestión. Si $x$ es un punto límite de un subconjunto $A$ entonces no puede ser el sucesor inmediato de algo en $S_\Omega$ y $S_x$ debe ser (contablemente) infinito. ¿Puedes encontrar una secuencia en $A$ que converge a $x$ ? ( Sugerencia : Dejemos que $y$ sea el sucesor inmediato de $x$ . Utilice una biyección de $\mathbf{N}$ a $S_x$ para construir una secuencia estrictamente creciente $(\alpha_n)_{n\in\mathbf{N}}$ cuyo mínimo límite superior es $x$ y elija $x_n$ en la intersección de $(\alpha_n, y)$ con $A\setminus \{x\}$ .)