Teorema general de la cartografía continua o de "Slutsky" para los procesos estocásticos

Question

Mientras que los teoremas estándar de Slutsky o del mapeo continuo se aplican a las funciones no aleatorias, ¿existen versiones que se mantienen para las funciones aleatorias bajo condiciones adecuadas?

Por ejemplo, consideremos un proceso estocástico $X_n: \Omega \times D_1 \to D_2$ , donde $D_1,D_2$ son espacios métricos. Supongamos que para todo $u$ sur $D_1$ , $X_n(u) \stackrel{a.s.}{\to} X(u)$ . Si $Y_n \in D_1$ y $Y_n \stackrel{a.s.}{\to } Y$ (incluso podríamos imaginar $Y$ como determinista/constante), entonces se deduce (bajo condiciones adecuadas) que $X_n(Y_n) \stackrel{a.s.}{\to} X(Y)$ ?

Como un simple ejemplo de lo que estoy hablando, imagine la siguiente prueba extremadamente complicada que para iid RV's $X_1,...,X_n$ con $E(X_i)=0$ , $Var(X_i)=\sigma^2$ , $$S_n^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \stackrel{a.s.}{\to} \sigma^2:$$

Definir $$S_n^2(u ) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - u)^2, $$
para que $S_n^2 = S_n^2(\bar{X})$ . Por la SLLN, $S_n^2(u) \stackrel{a.s.}{\to} E(X_0-u)^2$ para cada fijo $u \in \mathbb{R}$ . Además, $\bar{X} \stackrel{a.s.}{\to}0$ Por lo tanto, concluimos que $S_n^2(\bar{X}) \stackrel{a.s.}{\to} EX_0^2 = \sigma^2$ . ¿Qué detalles adicionales hay que dar para que este argumento sea riguroso?

Answer 1

No es necesario hablar de funciones aleatorias. En concreto, una función aleatoria $F(\cdot)$ es un elemento aleatorio, y siempre se puede considerar el valor $F(Y)$ como $$ F(Y) = f(F,Y), $$ donde $f(x,y) = x(y)$ es una función determinista bivariante.

Ahora, como siempre, para concluir $f(F_n,Y_n) \to F_n(Y_n)$ de $F_n\to F, Y_n\to Y$ se necesita $f$ para ser continua en una vecindad del soporte de $(F,Y)$ en un sentido adecuado. En realidad, en este punto podemos olvidarnos de la aleatoriedad, ya que se trata de una cuestión puramente analítica. La convergencia puntual de $F_n$ rara vez es adecuado, ya que $f$ es discontinua con respecto a ella.

Lo adecuado es, por ejemplo, la convergencia localmente uniforme de $F_n$ . En su caso, esto último se deduce de la ley uniforme de los grandes números: para cualquier $[a,b]\subset\mathbb R$ , $$ \sup_{u\in [a,b]} \big|F_n(u) - F(u)\big| = \sup_{u\in [a,b]} \bigg|\frac1n \sum_{i=1}^n \big(X_n - u\big)^2 - \mathrm E (X-u)^2\bigg| \to 0,\quad n\to\infty, $$ casi seguro. Por lo tanto, $$ F_n(\overline X) \to F(0) = \sigma^2,\quad n\to\infty, $$ casi seguro, como se desea.