Construcciones únicas hasta el isomorfismo no único

Question

1) Los campos tienen cierres algebraicos únicos hasta un isomorfismo no único.

2) Los espacios agradables (sin punto base) tienen espacios de cobertura universales únicos hasta un isomorfismo no único.

3) Los módulos tienen cascos inyectivos únicos hasta un isomorfismo no único.

Estas situaciones pueden dar lugar a grupos interesantes: el grupo de Galois absoluto, el grupo fundamental y los grupos "Galois" de módulos introducidos por Sylvia Wiegand en Can. J. Math., Vol. XXIV, No. 4, 1972, pp. 573-579.

Agradecería cualquier idea sobre las características abstractas de las situaciones que dan lugar a este tipo de fenómeno. Y agradecería el mayor número posible de ejemplos de todas las partes de las matemáticas.

Answer 1

Los dos primeros ejemplos pueden describirse de manera más o menos uniforme. Asociado a un campo $F$ es la categoría $C_F$ de extensiones de campos algebraicos de $F$ (cuyos objetos son morfismos $F \to E$ y cuyos morfismos son triángulos conmutativos). Esta categoría tiene un objeto terminal débil dado por cualquier cierre algebraico $F \to \bar{F}$ . La subcategoría completa sobre los cierres algebraicos es lo que se podría llamar el grupo de Galois absoluto de $F$ (que es una construcción perfectamente canónica), y eligiendo un objeto en este groupoide (que no lo es) se obtiene el grupo de Galois absoluto.

Del mismo modo, asociado a un espacio agradable $X$ es la categoría $C_X$ de cubiertas conectadas de $X$ (cuyos objetos son mapas de cobertura $Y \to X$ y cuyos morfismos son triángulos conmutativos). Esta categoría tiene un objeto inicial débil dado por cualquier cobertura universal $\bar{X} \to X$ . La subcategoría completa sobre las cubiertas universales es (¿equivalente a?) el grupo fundamental de $X$ (de nuevo, una construcción perfectamente canónica), y eligiendo un objeto en este groupoide (que no lo es) se obtiene el grupo fundamental.

Así que obtendrás este tipo de comportamiento en cualquier situación en la que tengas un objeto universal débil en lugar de uno universal. (Esto cubre parcialmente el tercer ejemplo, ya que la inyectividad es también una propiedad universal débil). Una forma general de diseñar una situación similar a las dos anteriores podría ser mirar algo como la categoría de (epi?)morfismos hacia un objeto o (mono?)morfismos hacia fuera en tu categoría favorita y ver qué ocurre.

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En cualquier caso, si sólo te interesan estas construcciones porque producen grupos interesantes, creo que hoy en día lo moderno es producir grupos interesantes utilizando La dualidad Tannaka-Krein .

Answer 2

Dos resoluciones inyectivas cualesquiera (de un objeto en una categoría abeliana) son homotópicamente equivalentes, pero esta equivalencia homotópica no es única. Esto se debe, por supuesto, a que la propiedad de elevación en la definición de "inyectiva" no requiere ninguna unicidad.

La suma conectada de las variedades orientadas es única hasta el homeomorfismo, pero este homeomorfismo no es único.

Un poco tonto, pero: En una corta secuencia exacta $0 \to A \to B \to C \to 0$ en una categoría abeliana semisimple $B$ es único hasta el isomorfismo (es decir, $B \cong A \oplus C$ ), pero el isomorfismo no es único.

Answer 3

Para un campo $k$ y un número natural $n$ el espacio vectorial de dimensión $n$ en $k$ es único hasta un isomorfismo no único, aunque de alguna manera me parece "menos único" que tus otros ejemplos. Al principio pensé que esto podría deberse a que no encaja en la clase de ejemplos descritos por Qiaochu, pero supongo que se puede forzar su inclusión en esa clase considerando la categoría de $n$ -espacios vectoriales de dimensiones sobre $k$ . Pero eso, a su vez, se siente considerablemente más ad hoc (al menos para mí) que considerar la categoría de extensiones de campos algebraicos.

Answer 4

Mi favorito: el cono de mapeo de un morfismo en una categoría triangulada es único hasta el isomorfismo no único. Este hecho ha originado mucha investigación en este tema, y todavía lo hace.

Answer 5

La homología de un álgebra diferencial graduada tiene una $A_\infty$ -que es única hasta un isomorfismo no único.

Ver el bonito documento expositivo de Keller Introducción a las álgebras A-infinitas y a los módulos por ejemplo. En particular, afirma este resultado en la sección 3.3 (como un teorema debido a Kadeishvili, entre otros). Allí se afirma como un resultado sobre la homología de un $A_\infty$ -pero cualquier álgebra diferencial graduada puede ser vista como una $A_\infty$ -Álgebra.