curvas algebraicas afines suaves y sus subesquemas

Question

Estoy leyendo mucho sobre las curvas en este momento y estoy un poco confundido: Dejemos que $X= Spec K[X]$ denota una curva algebraica afín suave. Entonces, según algunas fuentes, el anillo $K[X]$ es un dominio Dedekind. Pero esto significaría $X$ que conste de sólo dos puntos, el punto genérico y un punto especial... ¿es esto correcto? ¿Cómo puede la curva constar de sólo dos puntos?

Además, considerando un subesquema $Y \hookrightarrow X$ es el anillo de coordenadas de $Y$ de nuevo un dominio Dedekind (es $Y$ una curva?). La única manera $Y$ podría ser un subesquema no trivial sería para $K[Y]$ para ser un campo, que consiste en un solo ideal primo $(0)$ .

¿Me equivoco en algún punto?

Answer 1

Estoy un poco confundido.

Pero expongo un ejemplo fácil: dejemos $X=\mathbb{A}^1_{\mathbb{K}}$ sea la línea afín sobre un campo integralmente cerrado $\mathbb{K}$ entonces $X$ como esquema afín es $Spec\mathbb{K}[t]=\{(t-a)\,\text{prime ideal of}\,\mathbb{K}[t]:a\in\mathbb{K}\}\cup\{(0)\}$ ; por hipótesis, $\mathbb{K}$ tiene infinitos elementos, y $\mathbb{K}[x]$ es un dominio Dedekind!, efectivamente: $\mathbb{K}[x]$ es un anillo integralmente cerrado y noetheriano, y su dimensión de Krull es $1$ .

Si se toma un punto cerrado $y$ de $X$ , usted encuentra que $\{y\}=Spec\mathbb{K}[t]_{\displaystyle/\mathfrak{m}_y}\cong Spec\mathbb{K}=\{(0)\}$ el ideal cero de $\mathbb{K}$ .