Lemma de Hahn en Royden

Question

Estoy leyendo a través de Royden, 3ª y 4ª ediciones, y debo estar teniendo un terrible día en cuanto a convergencia absoluta. No puedo recordar por qué los $m_k \rightarrow \infty$. Esta es la página 273 de la 3ª edición, también son $n_k$ en esa edición, o la página 344 de la 4ª edición. Entiendo que $\sum^\infty_{k=1} \nu(E_k)$ es convergente ya que $\nu(E) = \nu(A) + \sum^\infty_{k=1} \nu(E_k)$ y $\nu(E) < \infty$. También veo que dado que cada $\nu(E_k) < -\dfrac{1}{m_k}$ tenemos

$ \sum^\infty_{k=1} \nu(E_k) < \sum^\infty_{k=1} -\dfrac{1}{m_k} $

Sé que esta es sin duda una pregunta respondida en 5 segundos. Gracias de antemano por ayudarme con mi ceguera.

Answer 1

Ok, al leer más, corríjame si me equivoco, pero dado que $\nu(E_k)\leq 0$ para todo $k$, entonces esto es lo mismo que si lo hubiera escrito en la otra dirección para $\nu(E_k) \geq 0$ para todo $k$:

$ \infty > \sum^\infty_{k=1} \nu(E_k) \geq \sum^\infty_{k=1} \dfrac{1}{m_k} $

Por lo tanto, $m_k \rightarrow \infty$.

Answer 2

Dado que $|v(E)|< \infty$ $$\Rightarrow -\infty< v\left(\bigcup E_k\right)=\sum v(E_k)\le \sum\frac{-1}{m_k}$$

$$\Rightarrow \sum \frac{1}{m_k} < +\infty,$$

Entonces $\lim \frac{1}{m_k}=0$ y por lo tanto $\lim m_k= \infty$.