MaxSpec, Spec, ... ¿"RadSpec"? O, ¿por qué no mirar todos los ideales radicales?

Question

Estaba leyendo esta pregunta sobre por qué la geometría algebraica mira los ideales primos en lugar de sólo los ideales máximos, y entiendo la respuesta de Anton, pero estoy un poco confundido en cuanto a cómo esto encaja con la Nullstellensatz de Hilbert - los conjuntos algebraicos afines están en biyección con los ideales radicales, no con los ideales primos, y parece que querríamos la información extra que obtendríamos mirando "RadSpec(R)" (mi propia notación imaginada). Además, la preimagen de un ideal radical es radical, así que no existe la misma objeción que con los ideales máximos: "RadSpec" también sería un functor contravariante.

Entonces, ¿por qué no ideales radicales en lugar de sólo ideales primos, y qué tipo de cosas podríamos decir sobre RadSpec(R) aunque no sean muy interesantes?

Answer 1

La respuesta corta es que cada ideal radical es la intersección de los ideales primos que lo contienen, de modo que el mapa de pullback en Specs determina el mapa de pullback en sus posibles RadSpecs.

Obsérvese que una razón similar subyace al éxito de considerar sólo los ideales máximos en la geometría algebraica clásica: un álgebra finitamente generada sobre un campo es un anillo de Hilbert-Jacobson: todo ideal radical es la intersección de los máximo ideales que lo contienen.

Sin embargo, no voy a descartar la posibilidad de que RadSpec pueda ser útil para algo...

Answer 2

El espacio Spec(R) tiene una propiedad universal:

En la categoría de conjuntos no existe el anillo local inicial al que mapea algún anillo dado R, es decir, un anillo local L y un mapa f:R-->L tal que cualquier mapa de R a un anillo local es factor por f.

Pero un anillo R es un objeto anillo en el topos de Conjuntos. Ahora bien, si se está dispuesto a dejar variar el topos en el que debe vivir, tal "anillo local libre sobre R" existe: Es el objeto anillo en el topos de gavillas sobre Spec(R) que viene dado por la gavilla de estructura de Spec(R). Así pues, el espacio sobre el que te preguntabas forma parte de la solución de formar un anillo local libre sobre un anillo dado (puedes reconstruir el espacio a partir del topos de gavillas, por lo que realmente podrías decir que "es" el espacio).

Una reformulación aún más bonita de esto es la siguiente (aún más altisonante, pero singulariza muy bien el espacio):

Un anillo R, es decir, un anillo en el topos de conjuntos, es lo mismo que un topos morfismo del topos de conjuntos al topos clasificador T de anillos (por definición de topos clasificador). También existe un topos clasificador de anillos locales con un mapa a T (que viene dado por olvidar que el anillo local universal es local). Si se forma el pullback (en un sentido apropiado de topos) de estos dos mapas, se obtiene el topos de gavillas sobre Spec(R) (es decir, moralmente el espacio Spec(R)). El mapa de esto en el topos clasificador de anillos locales es lo que corresponde a la gavilla de estructura.

¿No es bonito? Véase "Schemas relatifs et Topos anelles" de Monique Hakim para todo esto (la referencia original, libre de lógica), o alternativamente "Sheaves in Geometry and Logic" de Moerdijk/MacLane (con lógica y lenguajes formales).

Answer 3

Permítanme elaborar un poco la respuesta de Pete desde una perspectiva que he esbozado brevemente en esta entrada del blog . El punto de mirar a los esquemas afines en contraposición a los anillos conmutativos es que la categoría de esquemas afines se comporta más como $\text{Set}$ que $\text{CRing}$ hace: el producto se distribuye sobre el coproducto en lugar de al revés, por ejemplo. Esto significa que $\text{CRing}$ debe considerarse como una generalización de $\text{Set}^{op}$ una encarnación de la cual es la categoría de anillos booleanos una determinada subcategoría de la categoría de anillos booleanos.

Ahora bien, existe una construcción general en la teoría de categorías llamada "subobjeto" que describo en el post anterior. Aplicado a $\text{Set}$ da la red de subconjuntos. Aplicado a $\text{CRing}^{op}$ , da el rejilla de ideales. Así, el objetivo final de un enfoque "geométrico" de los anillos conmutativos debería ser dar una categoría equivalente a $\text{CRing}^{op}$ cuyos objetos tienen "puntos" con la propiedad de que la red de ideales se comporta como el entramado de subconjuntos de estos puntos (por lo que podemos aplicar la intuición de $\text{Set}$ ). Esto está muy mal. Pero se sigue obteniendo el entramado de ideales como un cierto subentramado. Más precisamente, dado un anillo $R$ sus subobjetos en $\text{CRing}^{op}$ son epimorfismos $R \to S$ . Quería que estos correspondieran a cocientes $R \to R/I$ pero esto es un error. Pero parece que sustituir "epimorfismo" por una definición más fuerte como epimorfismo extremo se supone que funciona.

Este enfoque tiene más sentido en la subcategoría de anillos reducidos, donde la construcción de subobjetos da la red de ideales radicales, que es lo más parecido a la red de subconjuntos de los ideales primos. (Y en la subcategoría de anillos reducidos de generación finita sobre un campo algebraicamente cerrado, la construcción del subobjeto da la red de subconjuntos algebraicos de un conjunto algebraico dado. Lo que intento decir aquí es que no hay que pensar en los ideales radicales como puntos, sino como un candidato natural para los "subconjuntos de puntos", que deberían entonces te lleva a una definición de "punto". Desde esta perspectiva, para los anillos reducidos tiene sentido pensar en los ideales primos como el candidato correcto para los "puntos", y para los anillos reducidos de Jacobson tiene sentido pensar en los ideales maximales como el candidato correcto para los "puntos". Si este es el mejor enfoque para todos los anillos conmutativos es una cuestión de gustos, creo.

Answer 4

Pete's respuesta dio una muy buena razón, y de hecho contenía lo que pensaba decir al principio de este post.

Sin embargo, permítanme dar algunas noticias ligeramente positivas, a saber, algunos casos en los que nos vemos obligados a trabajar sólo con ideales radicales: En muchas situaciones que implican anillos determinantes o ideales que definen las matrices conmutativas Uno quiere saber si ciertos ideales son radicales. Por ejemplo, esto es útil para demostrar que los ideales de los menores son perfectos, lo que implica que su resolución es lo más corta posible.

Uno de los métodos útiles (el otro utiliza álgebra con ley de enderezamiento ) ha sido la de Hochster sistema radical principal que demuestra que un ideal es radical al demostrar inductivamente que todo un conjunto de ideales es radical. El enunciado preciso, y algunas aplicaciones a la estadística algebraica, se proporcionó en este documento, la sección 7 por Kirkup. Creo que uno de los Hochster notas de clase contiene un tratamiento más general y formal, pero he olvidado cuál (¡lo siento!). AÑADIDO: Lo he encontrado, es Matemáticas 711, otoño 2005 Se discutió a partir de la conferencia del 9 de septiembre.

Answer 5

La categoría de reducido $k$ -sobre un campo $k$ es un ejemplo de la llamada categoría de Zariski; véase el libro "Categories of commutative algebras" de Yves Diers. En toda categoría de Zariski se pueden desarrollar nociones básicas de álgebra conmutativa y sobre toda categoría de Zariski $A$ podemos considerar la categoría de $A$ -esquemas. La teoría muestra que, de hecho, la mayor parte de la geometría algebraica básica se traslada a este entorno general. Y si $A$ es una de las llamadas categorías racionales reducidas de Zariski, resulta que las nociones básicas de las variedades toman el relevo (como la equivalencia birracional es detectada por el objeto campo de funciones, y el Nullstellensatz de Hilbert). Si $A$ denota la categoría de la reducción $k$ -obtenemos la categoría habitual de las álgebras reducidas $k$ -esquemas. Así que, en cierto sentido, se trata de una geometría algebraica por derecho propio que se puede estudiar. El enfoque del functor de puntos también funciona con funtores $A \to \text{Sets}$ . Sin embargo, hay que tener en cuenta que aquí el espectro de un $k$ -también está formada por los ideales primos habituales, no por todos los ideales radicales. No obstante, se puede leer la sección 2.4 del libro de Dier. Allí se estudian las congruencias radicales en las categorías de Zariski en general.