Relación de recurrencia y encontrar el coseno de una función de ellos.

Question

¿Y si nos dan $$a_{r+1}=\sqrt{\frac12(a_r+1)},r\in\{0\}\cup\mathbb N$$ Cómo encontrar: $$\chi=\cos\left(\frac{\sqrt{1-a_0^2}}{\displaystyle\prod_{k=1}^{\infty}a_k}\right)$$ Mi intento, que $a_0=1$ entonces $a_1=1,a_2=1,..$ entonces $\chi=\cos(0)=1$ pero la respuesta no es 1.

Answer 1

Pista: recuerda la fórmula del medio ángulo para el coseno:

$$\cos{\frac{\theta}{2}} = \sqrt{\frac{1+\cos{\theta}}{2}} $$

Así, si dejamos que $a_r = \cos{\theta_r}$ entonces $\theta_{r+1} = \theta_r/2$ .