Conversión de base r^3 a r^2

Question

El problema plantea lo siguiente:

Si $(\alpha2)_{r^3} = (r3\beta)_{r^2},$ encontrar $\alpha, \beta,$ y r.

En primer lugar, supongo que $r^2$ > 3 y $r^3 > 2$ .

Sé que $(r3\beta)_{r^2}$ = (10 _ _ _ _ ) $_{r}$

He intentado convertir a base 10 y hacerlos iguales entre sí:

$(\alpha2)_{r^3} = \alpha ({r^3})^1 + 2({r^3})^0$ = $(\alpha {r^3} + 2)_{10}$

$(r3\beta)_{r^2} = r({r^2})^2 + 3({r^2})^1 + \beta ({r^2})^0 = (r({r^4}) + 3{r^2} + \beta)_{10}$

y convirtiendo a base r:

$\alpha = Mr^2 + Nr + O$

$2 = Xr^2 + Y$

$r = 1r + 0$

$3 = Sr + T$

$\beta = Vr + U$

Pero estoy bastante atascado en este punto. No veo ninguna progresión lógica a partir de aquí (si es que voy en la dirección correcta).

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Déjalo: $$\begin{align*} \alpha &= Ar^2 + Br + C \\ 2 &= Dr^2 + Er + F \\ 3 &= Gr + H \\ \beta &= Ir + J \end{align*}$$ donde cada coeficiente en mayúsculas es algún número entero en $\{0, 1, \ldots, r - 1\}$ . Entonces, sustituyendo en nuestras expresiones en base $10$ Tenemos eso: $$(Ar^2 + Br + C)r^3 + (Dr^2 + Er + F) = r^5 + (Gr + H)r^2 + (Ir + J)$$ Comparando los coeficientes, tenemos: $$\begin{align*} \boxed{r^5}:\quad A &= 1 \\ \boxed{r^4}:\quad B &= 0 \\ \boxed{r^3}:\quad C &= G \\ \boxed{r^2}:\quad D &= H \\ \boxed{r^1}:\quad E &= I \\ \boxed{r^0}:\quad F &= J \\ \end{align*}$$ Ahora supongamos que $r \geq 2$ . Entonces $2 \geq Dr^2 \geq 4D$ lo que implica que $D = 0$ . Por lo tanto, $H = 0$ para que $3 = Gr$ . Pero entonces desde $3$ es primo y $r \neq 1$ tenemos que $G = 1$ y $r = 3$ .

Ahora bien, como $G = 1$ sabemos que $C = 1$ para que $\alpha = 1(3)^2 + 0(3) + 1 = 10$ .

Asimismo, dado que $r = 3$ sabemos que $D = E = H = I = 0$ y $F = J = 2$ para que $\beta = 0(3) + 2 = 2$ .