Algunas preguntas acerca de la función espectral

Question

Si usted piensa que esta pregunta es probable que se cierra, por favor, no responder y solo decir que en los comentarios ya que este sistema no me deja borrar la pregunta una vez que se tiene las respuestas.

Cada vez que me enfrento con un análisis de la función espectral se parece a una "nueva" intuitivo conjunto de malabarismo con la expectativa de valores y soy incapaz de ver un panorama general de lo que esta construcción significa. No estoy seguro de que puedo marco de un único coherente pregunta y, por lo tanto, trataré de poner una serie de preguntas que tengo acerca de la idea de espectral funciones en QFT.

• Supongo que en un Dirac teoría de campo se define la función espectral de la siguiente manera,

$\rho_{ab}(x-y) = \frac{1}{2} <0|\{\psi_a(x),\bar{\psi}_b(y)\}|0>$

También veo esta otra definición en el impulso espacio,

$S_{Fab}(p) = \int _0 ^\infty d\mu^2 \frac{\rho_{ab}(\mu^2)}{p^2 - \mu ^2 + i\epsilon}$

Son estas dos las mismas cosas conceptualmente? Lo intenté, pero no podía demostrar una equivalencia.

(I definir el propagador de Feynman como $S_{Fab} = <0|T\big(\psi_a(x)\bar{\psi}_b(y)\big)|0>$)

• Gran parte de la algebraicas complicación veo está en ser capaz de manejar la peculiar "_" firmar en el momento de solicitar la fermionic campos que no existen en la definición de la propagador de Feynman de la de Klein-Gordon campo (..que al parecer es visto por todas las teorías!..) y a ver cómo la expectativa de valores que se obtiene como $<0|\psi_a(0)|n><n|\bar{\psi}_b(0)|0>$$<0|\bar{\psi}_b(0)|n><n|\psi_a(0)|0>$, y de cómo estos son de ninguna manera relacionado con el operador de Dirac $(i\gamma^\mu p_\mu +m)_{ab}$ que llegará en el momento más fácilmente factible el cálculo de la función espectral para la libre la teoría de Dirac.

• Es cierto que para cualquier QFT dada su propagador de Feynman $S_F(p)$ no existe una positiva definida la función $\rho(p^2)$ de manera tal que una relación está satisfecho como,

$S_F(p) = \int _0^\infty d\mu ^2 \frac{\rho(\mu^2)} {p^2 - \mu^2 +i\epsilon}$

Así que no importa cuán complicado interactuar de una teoría para cualquier giro, su propagador de Feynman siempre va a "ver" el propagador de Feynman para la de Klein-Gordon campo en algún nivel? ( ... ) toda la interacción espín y la complejidad de ser visto por el espectral de la función de ponderación?..)

• Uno parece decir que siempre es posible dividir la integral anterior en dos partes de forma heurística como,

$$\begin{eqnarray}S_F(p) &=& \sum (\text{free propagators for the bound states})\\ &&+ \int_\text{states} \big( (\text{Feynman propagator of the Klein-Gordon field of a certain mass})\\ && ~~~~~~~~~~~~~~\times(\text{a spectral function at that mass})\big)\end{eqnarray}$$

Es esta división garantizada independientemente de si uno hace el habitual supuesto de que la "adiabático continuidad", como en el LSZ formalismo o en la dispersión de la teoría de que hay un bijection entre la asintótica de los estados y de los estados de la interacción teoría - que, ingenuamente, habría que parecía descartado todos los enlazados a los estados?

Para decirlo de otra manera - el espectral de la función, consulte el enlazados a los estados, independientemente de, o a pesar de la asunción de adiabática continuidad?

Answer 1

Te gustaría estado de la Källen la quiebra de Lehman representación a través de la Fermonic campo colector, que es $\{\bar\psi(x),\psi(y)\}$ pero, en la medida que la prueba se va, sólo se puede usar esta en un momento de forma ordenada. Quiero decir, usted debe utilizar $\theta(x_0-y_0)\psi(x)\bar\psi(y)-\theta(y_0-x_0)\bar\psi(y)\psi(x)$. Esto va a conceder el debido apariencia de Klein-Gordon propagador en la fórmula final. Cuando usted va a hacer que, a la vista estándar, visto a través de los estados y enlazados a los estados, es cierto.

Acerca de adiabática de continuidad, siempre recibirá una suma ponderada de libre propagadores con todo el espectro de la teoría, libre y unida de los estados, que está de acuerdo con tal hipótesis. El efecto de la interacción será codificado en los pesos y el espectro de sí mismo.

Finalmente, la positividad de la función espectral sólo puede ser concedida, y una prueba de retenciones, cuando los estados se comportan de una manera adecuada. Este no es exactamente el caso de una teoría de gauge y algunas de las dificultades que surjan en la prueba de la existencia de una masa brecha puede rastrearse a un problema como este. E. g. ver este libro por Franco Strocchi.

Aclaración: Cuando se inserta el operador de la generación de una traducción en la bosonic campo, el mismo es algo diferente para el spinorial caso. Usted recibirá

$$U^\dagger\psi U=S\psi $$

con $S$ el que yo creo que usted estudió en la prueba de la invariancia de Lorentz de la ecuación de Dirac. Ahora, usted está casi listo. Esto le dará para que elemento de la matriz

$$\langle 0|\psi(0)|\alpha\rangle=\sqrt{Z}u(\alpha)$$

ser $\alpha$ que se ejecuta tanto en el momenta y vuelta. Está prácticamente hecho a medida, utilizando las conocidas relaciones de $\sum_s u\bar u= \gamma\cdot p+m$$\sum_s v\bar v= \gamma\cdot p-m$, recibirá de vuelta Källen la quiebra de Lehman representación.