$f'(x)>0$ excepto para los puntos contables implica $f$ estrictamente creciente

Question

Dejemos que $f\in C[a,b]$ y excepto $\{x_n\}\subset [a,b]$ , $f'(x)>0$ . Demostrar que $f$ es estrictamente creciente.

Nótese que no conocemos la diferenciabilidad de $f$ en cada $x_n$ . Lo que sabemos es justo: $f'(x)>0, \forall\ x\not\in \{x_n\}$ .

Si excepto $\{x_1,\cdots,x_n\}\subset [a,b]$ , $f'(x)>0$ entonces está bien, pero dividiendo el interve en un número finito de pequeños enteros, en cada parte $f$ es estrictamente creciente.

El problema es que $\{x_n\}$ una secuencia... ¿Alguna idea?

Answer 1

Primero demostramos que $f(a)\leq f(b)$ . Supongamos que $f(a) > f(b)$ y seleccione $c$ tal que $f(a)>c>f(b)$ y $f(x_n)\neq c$ para todos $n\in \mathbb{N}$ . Considere el conjunto $$A=\{x\in [a,b] : f(x) > c\}$$ y que $\beta = \sup A$ . Ahora bien, si tomamos $y_n \in A$ con $y_n \to \beta$ y pasar al límite obtenemos $f(\beta)\geq c$ . Pero si $f(\beta)>c$ para un tamaño suficientemente pequeño $\epsilon > 0$ tendríamos $f(\beta + \epsilon)>c$ una contradicción. Así que hemos establecido que $f(\beta)=c$ . Ahora mira $$f'(\beta) = \lim_{x\to \beta}\frac{f(x)-f(\beta)}{x-\beta}$$ Para $x>\beta$ tenemos $f(x)\leq c$ y $f(\beta)=c$ por lo que debe ser el caso que $f'(\beta) \leq 0$ (sabemos que $f'(\beta)$ existe porque exigimos que $f(x_n)\neq c$ para todos $n\in \mathbb{N}$ ). Esto es una contradicción ya que tenemos $f'>0$ en todas partes, excepto posiblemente el $x_n$ 's. Así que $f(a)\leq f(b)$ . Ahora para todos $x\in (a,b)$ tenemos $f(a)\leq f(x) \leq f(b)$ repitiendo el argumento anterior. Si $f(a)=f(b)$ entonces $f$ sería constante y $f'=0$ así que $f(a)<f(b)$ .

Ahora para la arbitrariedad $x,y\in [a,b]$ con $x<y$ podemos repetir nuestro argumento en $[x,y]$ para conseguir $f(x)<f(y)$ , demostrando así que $f$ es estrictamente creciente.

Answer 2

Sólo un comentario.

Merece la pena reflexionar sobre la idea de la prueba que ha dado Giorgos. Si hubiera no puntos en los que $f'(x)$ no sea positiva, entonces (utilizando la propiedad del valor intermedio de las funciones continuas) seleccione cualquier $c\in (a,b)$ con $f(a)>c>f(b)$ y utilizar su "argumento del último punto" para considerar $$\beta =\sup\{ x\in (a,b): f(x)>c\}$$ donde estamos seguros de que $f'(\beta)>0$ etc.

Si hay un conjunto de puntos $E\subset (a,b)$ donde tal vez hagamos pas tienen un derivado positivo, bueno... simplemente evítalos. Si $E$ es contable, también lo es $f(E)$ y hay mucho espacio para elegir un valor $c\not\in f(E)$ . Eso nos dará un $\beta\not\in E$ etc.

Ese método conduce a una interesante y sencilla generalización utilizando el mismo método, debida a Antoni Zygumund. Como seguimiento de este "ejercicio" recomiendo probar este teorema.

Teorema (Zygmund) Deja que $f$ sea una función continua tal que el conjunto de valores asumidos por $f(x)$ en los puntos $x$ donde la parte superior derecha de la derivada de Dini $D^+f(x)\leq 0$ no contiene ninguna no degenerada intervalo. Entonces $f$ es monótona y no decreciente.