Límite de una serie de singularidades

Question

El $A_\infty$ y $D_\infty$ las singularidades de las curvas planas tienen ecuaciones definitorias $x^2=0$ y $x^2y=0$ . Estas ecuaciones son "claramente" casos límite naturales de las ecuaciones para $A_n$ singularidades $x^2 + y^{n+1}=0$ y $D_n$ singularidades $x^2y+y^{n-1}=0$ como $n \to \infty$ ya que las grandes potencias son pequeñas en la topología adic. Así que estamos tentados a decir que $A_\infty$ y $D_\infty$ son "límites" de la "serie de singularidades" $\{A_n\}$ y $\{D_n\}$ . Esto ya fue observado por Arnol'd en 1981, quien escribió "Aunque las series existen indudablemente, no está nada claro que una serie de singularidades es ."

¿Se ha intentado desde Arnol'd dar sentido a las frases entrecomilladas del párrafo anterior? Es decir:

¿Existen definiciones precisas de una "serie de singularidades", y del "límite" de una serie de singularidades, bajo las cuales $\lim_{n\to \infty} A_n = A_\infty$ y $\lim_{n\to \infty} D_n = D_\infty$ ?

---

Si la respuesta es afirmativa, he aquí otro desiderátum: ¿se extiende la noción de "límite" a los módulos/ondas sobre las singularidades? Mi motivación aquí es que el $A_n$ y $D_n$ son (casi) precisamente las hipersuperficies equicaracterísticas con tipo Cohen-Macaulay finito (es decir, sólo hay un número finito de módulos MCM indecomponibles), mientras que $A_\infty$ y $D_\infty$ son precisamente los de tipo CM contable o acotado. Realmente me gustaría alguna afirmación de que cada módulo MCM sobre el "límite" "proviene" de un módulo "en alguna etapa finita".

Answer 1

Esto no es una respuesta, sino un comentario largo (nivel de estudiante de posgrado, así que por favor no lo tomen en serio). Utilizo las superficies para simplificar. La respuesta debe ser sí en alguna forma. Mi creencia proviene de la teoría del espacio de moduli. Se sabe que las superficies estables normales admiten, en el peor de los casos, singularidades canónicas aisladas. Esto incluye $xyz+x^p+y^r+z^q$ singularidades. Sin embargo, para tener un espacio de moduli completo de superficies, debemos incluir ninguna singularidad aislada de la forma $xyz$ , $xyz+x^p$ y $xyz+x^p+y^r$ (entre otros). El parecido de las ecuaciones debe ser más que una coincidencia. Así, puedo imaginar que podemos tener una singularidad aislada y considerar todas las deformaciones desde ella a las no aisladas. Luego buscar la familia mínima "completa" de tales degeneraciones.

Me gustaría que alguien pudiera decir algo más sobre todo esto.

Answer 2

Las grandes potencias son pequeñas en la topología adic: Para las series de singularidades dejemos que A infinito y D infinito sean singularidades de curvas planas:x^2=0 & X^2.y=0 ambas ecuaciones son limitantes naturales para las singularidades A(n) x^2+y^n+1=0 y las singularidades D(n) x^2y+y^n-1=0 cuando n_>infinty por eso aquí podemos decir que A(infinito) y D(infinito) son límites de series de singularidades A(n) y D(n)