Si $K = I-C$ , donde $C$ es una matriz cuadrada con valor propio $\lambda$ entonces demuestre que $K$ no puede tener un valor propio $0$ .

Question

Dado que para $C = (c_{jk})$ , $\sum_{k=1}^n |c_{jk}| < 1.$

Y dado que el teorema de Gershgorin dice que si $\lambda$ es el valor propio de $C$ , entonces para algunos $1\le j \le n$ $$|c_{jj}-\lambda|\le \sum_{(k\not= j) {k=1}}^n |c_{jk}|.$$

No sé cómo combinar adecuadamente toda la información dada para mostrar $K$ tiene un valor propio distinto de cero. Cualquier ayuda será muy apreciada. He estado atascado en esto durante horas.

Answer 1

$0$ es un valor propio de $K$ si y sólo si $\lambda = 1$ es un valor propio de $C$ . Demostramos que esto no es posible.

Supongamos que $\lambda$ es un valor propio de $C$ Entonces: $|\lambda| = |\lambda - c_{jj} + c_{jj}| \leq |\lambda - c_{jj}| + |c_{jj}| \leq \sum_{k \neq j, k = 1}|c_{jk}| + |c_{jj}| = \sum_{k=1}^{n}|c_{jk}| < 1$ .