Los atentados de la Segunda Guerra Mundial en Londres. Problema de la distribución de Poisson.

Question

La pregunta dice lo siguiente: "El bombardeo de Londres durante la Segunda Guerra Mundial fue estudiado por los estadísticos como una variable aleatoria de Poisson. Uno de los objetivos era determinar si los alemanes bombardeaban al azar o podían apuntar a áreas específicas. Londres Se dividió Londres en una cuadrícula formada por 576 casillas, cada una de ellas de 0,25 kilómetros cuadrados, y se contó el número de bombas que cayeron en cada cuadrícula. cuadrícula. El número total de bombas que cayeron fue de 538. Los estadísticos de Los estadísticos descubrieron que el número de cuadrículas en las que cayeron exactamente dos bombas era de 93. ¿Cuál es el número esperado de cuadrículas en las que exactamente dos bombas cayeron si las bombas fueron lanzadas al azar sobre la cuadrícula?"

¡Así que para mi intento de solución tengo lambda = 538/576 y la función de distribución de probabilidad P{X=k} = (e^(-lambda(t))*(lambda(t)^k)) / k!

Lo que nos lleva a : ¡P{X=2} = (e^(-0,934t) x (0,934t)^2) / 2!

Mi problema es que no sé qué valor debe tener t, cualquier ayuda sería muy apreciada, ¡gracias!

Answer 1

Considera cualquier plaza en particular. Cada bomba tiene una probabilidad $1/576$ de aterrizar en ese cuadrado, por lo que la probabilidad de que exactamente dos de los $538$ la tierra de las bombas está ${538 \choose 2} (1/576)^2 (575/576)^{536} \approx 0.1715517836$ . Llama a este $P_2$ . Como el valor esperado es aditivo, el número esperado de cuadrados en los que caen exactamente dos bombas es $576 P_2 \approx 98.81382735$ .

A pesar del preámbulo, esto es pas un problema de distribución de Poisson. Utilizó una distribución binomial con $n = 538$ y $p=1/576$ . Pero los estadísticos de la Segunda Guerra Mundial no disponían de buenas calculadoras, así que habrían utilizado la aproximación de Poisson a la distribución binomial ( $\lambda = np = 538/576$ , $P_2 \approx e^{-\lambda} \lambda^2/2! = 0.1714140748$ , y de nuevo $576 P_2 \approx 98.73450708$ ).