Para llevar a cabo un cálculo no-perturbativo a partir de la QED es habitual utilizar la transformación Foldy-Wouthuysen. Esto es necesario para asegurar que la evolución temporal de los estados coincide con la evolución temporal de los operadores de campo, sin cuya restricción las diferencias de fase corrompen la definición del operador de momento. Es posible simplificar la transformación de Foldy-Wouthuysen (que incorpora el espín) y definir la imagen de campo $$|f_F(t)\rangle = e^{-iH_It} |f(t)\rangle = e^{-iH_0t} |f(0)\rangle $$ En la imagen de campo, los kets evolucionan como en la imagen de Schrödinger para la no interacción no interactuantes. El operador de momento en la imagen de campo es $$P_F^a= e^{-iH_It}i\partial^ae^{iH_It} $$ En la correspondencia semiclásica, la evolución puede ser tratada para pequeñas $t$ como perturbación a la evolución de una partícula no interactuante, sustituyendo el Hamiltoniano por su expectativa (en efecto sumando diagramas para el caso no-perturbativo). Para una partícula clásica con posición $x$ y la velocidad $\dot x$ la corriente clásica es $$J=-e\dot x$$ La expectativa del hamiltoniano de interacción es $$\langle H_I\rangle=J \cdot\langle A \rangle = -e \dot x \cdot\langle A \rangle $$ Sustituyendo el hamiltoniano de interacción por su expectativa se obtiene un semiclásico en el que el electrón es cuántico pero el campo es clásico. En este modelo semiclásico, el operador de momento en la imagen de campo es $$ P_F^a = e^{ie \dot x \cdot\langle A \rangle}i\partial^a e^{-ie \dot x \cdot\langle A \rangle} = i\partial^a-e\langle A^a\rangle $$ Por lo tanto, la expectativa, $\langle A^a\rangle$ del operador que crea y aniquila fotones actúa a la manera de un campo vectorial clásico, modificando la energía y el momento. Esta es la fórmula estándar para el momento generalizado en la presencia de un campo clásico, a menudo asumida por motivos fenomenológicos, pero aquí vista desde la emisión y absorción de fotones en interacción. Sustituyendo el momento en la ecuación de Dirac por el momento generalizado se obtiene la ecuación de Dirac en interacción (tratada en muchos libros de texto).
De nuevo trabajando en la imagen de campo tenemos, a partir del teorema de Ehrenfest,
$$ {d \over dt}\langle P^a_F\rangle= \langle {d \over dt} P^a_F\rangle + i\langle[H,P^a_F]\rangle $$ Sustituyendo la interacción en el Hamiltoniano por la expectativa como antes $$H=H_0 + H_I \approx H_0 + \langle H_I\rangle =H_0 -e\dot x\cdot\langle A\rangle $$
Sustituyendo, utilizando el momento generalizado, y eliminando el subíndice F (ya que las expectativas son las mismas en cualquier imagen)
$$ {d \over dt}\langle P^a\rangle= e {d \over dt}\langle A^a\rangle +i\langle [ H_0 -e\dot x\cdot\langle A\rangle, i\partial^a-e\langle A^a\rangle]\rangle $$ $$ {d \over dt}\langle P^a\rangle= e {d \over dt}\langle A^a\rangle -e\partial^a \dot x\cdot\langle A\rangle $$
Para interpretar esto, escríbalo en el marco de reposo de la partícula (para que tengamos el tiempo adecuado) $$ \partial^0 \langle P^a\rangle= e \partial^0\langle A^a\rangle -e\partial^a \langle A^0\rangle $$ Entonces sólo tenemos que hacer una transformación de Lorentz para encontrar la ley de fuerza de Lorentz en términos del tensor de Faraday.
La derivación de las ecuaciones de Maxwell es más sencilla, trabajando a partir de la condición gauge de Gupta-Bleuler que da lugar al gauge de Lorenz, porque no es necesario utilizar la imagen de campo. He dado un tratamiento completo en Una construcción de la QED completa utilizando el espacio de Hilbert de dimensión finita y en Las matemáticas de la gravedad y los cuantos
