Un enfoque totalmente elemental es la siguiente.
En primer lugar, dado cualquier campo $F$ y el polinomio mónico $h$ de grado $n$ , $F[x]/(h)$ es el anillo de las clases de residuos módulo $h$ , es decir, los restos de la división euclidiana por $h$ (muy parecido al caso de $\mathbb{Z}/(n) = \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ .)
Así que en ambos casos, como conjuntos sus anillos cotizados consisten en las clases de congruencia (= cosets) de los cuatro elementos $a + b x$ con $a, b \in F = \mathbb{Z}/(2)$ . Pero el producto en los dos casos es críticamente diferente, como veremos en un segundo.
Ahora $f$ es irreducible, por lo que en el caso (1) se obtendrá un campo. Esto se debe simplemente a que $x (x + 1) = x^{2} + x \equiv 1 \pmod{f}$ , por lo que todos los elementos $\ne 0$ tendrá un inverso.
En su lugar, $g = x^2 + 1= (x+1)^{2}$ es reducible, y por tanto en el caso (2) hay divisores cero, ya que $x + 1 \not\equiv 0 \pmod{g}$ pero $(x + 1)^{2} \equiv 0 \pmod{g}$ .
En ambos casos, el anillo cociente es un espacio vectorial sobre $F$ por lo que el periodo aditivo de los elementos no nulos es $2$ , mientras que en $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ hay (dos) elementos con período aditivo $4$ . También se puede distinguir (1) de $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ porque este último no es un campo, pero las estructuras multiplicativas de (2) y $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ son los mismos.
