Demostración del Teorema 16.4 de la Topología de Munkres 2ª Edición

Question

Por alguna razón, no puedo dar sentido a una afirmación de esta prueba. La declaración es:

"Desde que los conjuntos $(a,+\infty)\cap Y$ y $(-\infty,a)\cap Y$ forman una subbase para la topología del subespacio en $Y$ y como cada uno es abierto en la topología de orden, la topología de orden contiene la topología del subespacio".

Entiendo que estos conjuntos forman una subbase para la topología del subespacio en $Y$ y entiendo que cada uno es abierto en la topología del orden. Sin embargo, no puedo entender cómo estas condiciones conducen a la implicación, que la topología de orden contiene la topología del subespacio.

Si denota la topología de orden $\tau_o$ y la topología del subespacio $\tau_s$ y I denota la subbase de la topología del subespacio $\mathcal{S}_s$ entonces, después de pensarlo un poco, me sale:

$U \in \mathcal{S}_s \implies U \in \tau_s$ ya que $\mathcal{S}_s$ es una subbase para $\tau_s$ Así que $\mathcal{S}_s \subset \tau_s$

y

$U \in \mathcal{S}_s \implies U \in \tau_o$ ya que los elementos del $\mathcal{S}_s$ son abiertos en la topología de orden, por lo que $\mathcal{S}_s \subset \tau_o$ .

Pero de esto, obviamente no puedo concluir que $\tau_s \subset \tau_o$ . ¿Qué me falta?

Answer 1

Te has confundido con la notación. No te importa si cada elemento de la subbase está en ambas topologías. Decir que $\tau_s\subset\tau_o$ es decir que todo conjunto abierto en la topología del subespacio es abierto en la topología del orden. Pero todo elemento de subbase de la topología subespacial es abierto en la topología de orden y, por tanto, todas las intersecciones finitas de elementos de subbase también lo son. Por lo tanto, todo conjunto abierto en la topología del subespacio es abierto en la topología de orden, como queríamos.