Varias definiciones del espacio de Moduli de las superficies de Riemann y el teorema de la uniformización

Question

Siento la cantidad de preguntas que hago, pero me gustaría resolver de una vez por todas muchas dudas que tengo sobre las definiciones equivalentes del espacio de moduli de las superficies de Riemann.

Definición 1 : El espacio de Moduli de las superficies de Riemann de género $g$ es

$\mathcal{M}_g:=\{$ Superficies de Riemann de género $g$ }/isomorfismos $\qquad$ ( $\mathcal{M}_g$ aquí es sólo como un conjunto)

Sé que, para $g\ge 2$ tenemos esta definición equivalente de $\mathcal{M}_g$ :

Definición 2 : $\mathcal{M}_g:=\{$ métrica hiperbólica en $S_g$ }/isometría $\qquad S_g$ es la superficie topológica orientada de género $g$ .

Me han dicho que, para $g\ge 2$ la definición 1 y 2 son equivalentes debido a la Teorema de la uniformización que dice que una superficie de Riemann simplemente conectada tiene clase de curvatura conforme 1 o 0 o -1. Por lo que he entendido, para cualquier superficie de Riemann $X$ del género $g\ge 2$ consideramos la cubierta universal $\widetilde{X}$ que es de tipo conforme -1 (es el plano hiperbólico $\mathbb{H}$ ) y la métrica hiperbólica desciende sobre $X$ .

Pregunta 1: ¿Por qué el tipo de conformación de $\widetilde{X}$ -1? ¿Por qué no puede ser esférico o plano?

Pregunta 2: Dada una clase de isomorfismo de superficies de Riemann, (es decir, una estructura compleja, hasta el isomorfismo) ¿cómo obtengo (o calculo, si lo prefieres) la métrica hiperbólica? Dada la métrica hiperbólica, ¿cómo obtengo la estructura compleja?

También he encontrado esta otra definición para $g\ge 2$ :

Definición 3 : $\mathcal{M}_g:=\{$ métrica hiperbólica en $S_g$ }/orientación preservando difeomorfismos

lo que me lleva directamente a la siguiente pregunta:

Pregunta 3 : ¿Por qué son equivalentes las definiciones 2 y 3? Es decir, ¿por qué es lo mismo considerar las métricas hiperbólicas hasta las isometrías o sólo hasta los difeomorfismos que preservan la orientación?

Ahora quiero considerar el caso $g=1$ . He encontrado esta definición:

Definición 4 : $\mathcal{M}_1:=\{$ métrica plana en $S_1\}/$ acción de $\mathbb{R}^+\times Diffeo^+(S_1)$

Supongo que esto también debe ser una consecuencia del teorema de la uniformización, pero no lo entiendo:

Pregunta 4: ¿Por qué la cubierta universal de una superficie de Riemann de género 1 no puede ser esférica o hiperbólica?

Sé que la superficie de Riemann $X_\tau:=\mathbb{C}/(\mathbb{Z}+\tau\mathbb{Z})$ , $\tau\in \mathbb{H}$ es isomorfo a $X_\eta$ , $\eta\in\mathbb{H}$ si y sólo si hay números enteros $a,b,c,d$ con $ad-bc=1$ tal que $\eta=\frac{a\tau +b}{c\tau +d}$

Pregunta 5: Dada una clase de isomorfismo de superficies de Riemann de género 1, (y por tanto por la observación anterior, una órbita de $\mathbb{H}$ por la acción de $PSL(2,\mathbb{Z})$ ) ¿cómo obtengo (o calculo, si lo prefieres) la métrica plana? Dada la métrica plana, ¿cómo obtengo la estructura compleja?

¡Muchas gracias!

Answer 1

Pregunta 1 : Sabemos que por el teorema de uniformización, la superficie de Riemann está cubierta por cualquiera de ellas:

$$\tilde M = \mathbb S^2 , \mathbb C, \ \text{or }\mathbb H.$$

Entonces para cualquier superficie de Riemann $M$ , $M$ es biholomorfo a $\tilde M/\Gamma$ , donde $\Gamma$ es un subgrupo de bilomorfismo en $\tilde M$ y cada $F\in \Gamma$ no tiene puntos fijos.

Por lo tanto, la única superficie de Riemann que está cubierta por $\mathbb S^2$ es $\mathbb S^2$ La razón es que todos los bihomorfismos (de hecho, todos los mapas que conservan la orientación) en $\mathbb S^2$ debe tener un punto fijo. Esto obliga a $\Gamma = \{I\}$ y $M \cong \mathbb S^2$ .

Para $\mathbb C$ se puede comprobar que todos los biholomorfismos $F:\mathbb C \to \mathbb C$ son rotaciones y traslaciones. Como las rotaciones deben tener puntos fijos, todas las superficies de Riemann cubiertas por $\mathbb C$ son biholomorfos a $\mathbb C/\Gamma$ , donde $\Gamma$ es un grupo de traducción en $\mathbb C^2$ . Entonces uno puede ver que $M$ tiene que ser un toroide.

En particular, la discusión anterior muestra que cualquier superficie de género $\ge 2$ no puede ser cubierto por $\mathbb S^2$ o $\mathbb C$ . Por lo tanto, por el teorema de uniformización, están cubiertos por $\mathbb H$ . (No he excluido la posibilidad de que algunas superficies de Riemann de género uno estén cubiertas por $\mathbb H$ que es su pregunta 4: que se puede descartar después de introducir la métrica)

Preguntas 2 y 5 Primero mostramos que dada una superficie de Riemann, se puede construir una métrica con curvatura constante.

Fijar una superficie de Riemann $M$ sabemos que es biholomorfo a $\tilde M/\Gamma$ , donde $\Gamma$ es un subgrupo de biholomorfismo. Si resulta que encontramos una métrica en $\tilde M$ para que todos los biholomorfismos (sin puntos fijos) sean isometrías orientadas, entonces la métrica sobre $\tilde M$ "desciende" a $\tilde M/\Gamma$ y por lo tanto a $M$ .

Efectivamente, tenemos esa métrica: Para $\mathbb C$ utilizamos la métrica euclidiana habitual. Es evidente que todas las traslaciones son isometrías. Para $\mathbb H$ se puede comprobar que todos los biholomofismos son de la forma

$$ z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}, \ \text{where }a, b, c, d\in \mathbb R, ad-bc >0.$$

Se puede demostrar que (ver ici ) si introducimos la métrica

$$ds^2 = \frac{1}{y^2} (dx^2 + dy^2),$$

entonces todos esos biholomorfismos son isometrías. También se puede calcular que esta métrica tiene curvatura constante $-1$ .

En resumen, si una superficie de Riemann $M$ está cubierto por $\mathbb C$ (resp. $\mathbb H$ ), entonces $M$ puede recibir una métrica de curvatura constante $0$ (resp. $-1$ ) para que $\mathbb C \to M$ (resp. $\mathbb H \to M$ ) es una isometría local.

Pregunta 4 Ahora podemos ver que una superficie de Riemann de género uno no puede ser cubierta por $\mathbb H$ : si no, tiene una métrica con $-1$ curvatura. Entonces por el teorema de Gauss Bonnet,

$$0 = 2-2g = \frac{1}{2\pi} \int_M K d\mu = - \frac{1}{2\pi} \text{Area}(M) \neq 0,$$

que es una contradicción.

Volver a la pregunta 2 y 5 Ahora respondemos a la otra parte de la pregunta 2 y 5: Dada una métrica $g$ de curvatura constante en $M$ cómo construir en $M$ ¿una estructura compleja?

Dejemos que $\tilde M$ sea una cubierta universal de $M$ . Entonces, como $\pi : \tilde M \to M$ es un difeomorfismo local, se puede tirar de la métrica a la cubierta universal $\tilde M$ . Así, $M \cong \tilde M/\Gamma$ , donde $\Gamma$ es un grupo de isometrías en $\tilde M$ .

Sin embargo, se clasifican todas las superficies rieamnnianas simplemente conectadas con curvatura constante. No son más que $\mathbb S^2, \mathbb C$ y $\mathbb H$ . (con las métricas obvias). Así, se puede definir una estructura compleja sobre $M$ por el de $\tilde M$ .

Para resumir un poco, tenemos:

• Dada una superficie de Riemann, podemos construir una métrica de curvatura constante sobre $M$ .

• Dada una superficie con métrica riemanniana $g$ de curvatura constante, se puede construir una estructura compleja.

Se puede comprobar que estos procesos son inversos entre sí, por lo que

$\{$ todas las superficies de Riemann $\} \leftrightarrow \{$ todas las superficies riemannianas orientadas con curvatura constante $\}$

Como hemos introducido la métrica de manera que el biholomorfismo sin puntos fijos corresponde a isomerías orientadas, tenemos la equivalencia de la definición uno y dos.

Pregunta 3 Soy un poco escéptico incluso sobre la definición, dada una métrica hiperbólica $h$ y un difeomorfismo orientado arbitrario $f$ , $f^*h$ podría no ser una métrica hiperbólica.