Con $r_{n-1} = \frac{r_{n-2}}{\cos(\frac{180}{n})}$ , lo hace $\sum_{n=3}^\infty r_{n-1}-r_{n-2}$ ¿converger?

Question

Dejemos que $r_{n-2}$ sea el inradio y $r_{n-1}$ el circumradius de un n-gon regular. En este (1) y este (14) obtenemos:

$$r_{n-1} = \frac{r_{n-2}}{\cos(\frac{180}{n})}$$

Básicamente lo que estoy haciendo es empezar con el círculo de un triángulo regular, dibujar la circunferencia y dejar que sea el círculo de un cuadrado. Luego dibujamos el círculo de ese cuadrado y dejamos que sea el círculo de un pentágono. Cuando seguimos estos pasos hasta el infinito, ¿el "último" círculo dibujado tiene un radio finito?

Con cada paso el circunradio del último polígono dibujado crece en $r_{n-1} - r_{n-2}$ . Así que para obtener una respuesta también podríamos preguntar si la siguiente serie converge:

$$\sum_{n=3}^\infty r_{n-1}-r_{n-2}$$

Answer 1

Básicamente se pregunta si $\lim_{n\to \infty} r_n$ existe, lo que equivale a preguntarse si $$A=\frac{1}{\lim_{n\to \infty}\prod_{k=3}^n \cos(\pi/k) }$$ existe. Ahora, $$A=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{\prod_{k=3}^n \left(1-2\sin^2(\pi/2k) \right)}$$ La secuencia $\{a_n\}:=\{2\sin^2(\pi/2n)\}$ tiene como límite superior $1$ , monótona decreciente y convergente a $0$ $\left(\right.$ También la serie $\sum_{n\ge 1}a_n$ es convergente ya que $\displaystyle\sum_{n\ge 1}a_n\le 2\sum_{n\ge 1}\frac{\pi^2}{4n^2}=\frac{\pi^4}{12}$$ \izquierda.derecha) $. Since $ a_n $ is decreasing, $ |existe N $ such that $ \Npara todos n\ge N $, $ a_n\le 1/m $ for any $ m\in \mathbb{N} $. Thus, $$ \N -prod_{n=N}^{N+m}(1-a_n)\Nge (1-1/m)^m\Nimplica \N -prod_{n=N}^{{infty}(1-a_n)\Nge e^{-1} $$ Also, $ a_n<1,\Npara todo n\Nimplica \Nprod_{n=1}^N(1-a_n)>0\Npara todo N $. Thus, $ \N -prod_{n\ge 3}(1-a_n)>0 $ and hence $ A=lim_{n}a{infty}{frac{1}{prod_{n}ge 3}(1-a_n)}$ es finito.