¿No es este functor totalmente fiel y esencialmente suryectivo o son estas categorías equivalentes?

Question

Sé que hay pruebas de que un functor totalmente fiel y esencialmente suryectivo realiza una equivalencia de categorías. Hay indicios de cómo demostrar que, por ejemplo ici y ici .

Sin embargo, me he inventado un ejemplo que parece un contraejemplo de esa afirmación y en este momento no puedo detectar mi error (probablemente trivial), así que por favor ayúdame a señalarlo.

El ejemplo es el siguiente: Considere el siguiente diagrama:

y tomar $A$ y $B$ para ser objetos de la categoría $\mathcal{C}$ . Que sean conjuntos donde $A$ tiene 3 elementos y $B$ tiene 2 elementos y dejemos que $\phi$ enviar estos 3 elementos a un solo elemento de $B$ y que $\psi$ enviar los 2 elementos de $B$ a uno de los elementos de $A$ .

Ahora dejemos que $C$ sea el objeto de la categoría $\mathcal{C}_2$ sea también un conjunto con un elemento y que el functor $F$ envía los objetos y las flechas como se indica debajo del diagrama.

¿Existe ya un error en esta construcción? Si no es así, se puede demostrar que $F$ es totalmente fiel y esencialmente suryente:

Se dice que un functor es fiel/completo si para cada $A,A'\in\mathcal{C}$ el mapa inducido $F:\text{Mor}(A,A')\rightarrow\text{Mor}(F(A),F(A'))$ es inyectiva/subjetiva.

Esto es así porque siempre hay exactamente un morfismo desde cualquier objeto $A\in\mathcal{C}$ a cualquier otro objeto $A'\in\mathcal{C}$ que luego se puede asignar a la identidad.

Se dice que un functor es esencialmente suryectivo si para cada objeto $C$ en $\mathcal{C}_2$ hay un objeto $A\in\mathcal{C}$ tal que $F(A)=C$ .

Esto es cierto también por definición de $F$ . Sin embargo,

Un functor $F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{C}_2$ se dice que realiza una equivalencia si existe un functor $G:\mathcal{C}_2\rightarrow\mathcal{C}$ tal que $F\circ G\cong 1_{\mathcal{C}}$ y $G\circ F\cong 1_{\mathcal{C}_2}$ .

Ahora no veo qué functor se podría construir para mostrar la equivalencia porque si $G$ envía $C$ a $G(C)=A$ entonces $G(F(B))=A$ y $A$ no es isomorfo a $B$ . Lo mismo ocurre si $G(C)=B=G(F(A))$ .

¿Qué es lo que no tengo en cuenta adecuadamente? Gracias.

Answer 1

De acuerdo, lo que no había tenido en cuenta correctamente es que la composición de mapas que se alejan de un objeto y vuelven a él puede considerarse, en última instancia, como mapas de ese objeto hacia sí mismo, también.

Por ejemplo, $\psi\circ\phi$ envía los 3 elementos del conjunto $A$ a un solo elemento de $A$ y es, por tanto, un elemento adicional de $\text{Mor}(A,A)$ lo que significa que el functor $F$ ya no es fiel porque envía $F(\psi\circ\phi)$ a $F(\psi)\circ F(\phi)=id_{C}$ .

Como resultado, no debería haber ninguna equivalencia y el ejemplo resulta satisfacer el teorema de que un functor realiza una equivalencia si es totalmente fiel y esencialmente suryente.

Answer 2

Una respuesta tardía, pero quizás sea bueno aclarar esta cuestión. En resumen: sí, $F$ es una equivalencia de categorías y $A$ es efectivamente isomorfo a $B$ .

En su respuesta, parece sugerir que el morfismo $\psi \circ \phi$ es diferente de $\operatorname{id}_A$ . Sin embargo, no creo que lo sea: las cuatro flechas son probablemente los únicos cuatro morfismos que tiene la categoría y la composición de $\phi$ con $\psi$ debe dar la identidad en $A$ .

Con esta interpretación del ejemplo, el functor $F$ es a la vez esencialmente sobreyectiva y totalmente fiel, precisamente por las razones que mencionas.

Esto no es una contradicción, porque el functor $F$ es efectivamente una equivalencia. Hay dos opciones para un inverso $G$ de los cuales uno es el que tú diste: $G(C) = A$ , $G(\operatorname{id}_C) = \operatorname{id}_A$ . Como usted señala, $G(F(B)) = A$ . Pero tenga en cuenta que $A$ es isomorfo a $B$ a través de $\phi: A \to B$ con el inverso $\psi: B \to A$ ¡! Así que $G \circ F$ es naturalmente equivalente a la identidad en la categoría $\mathcal{C}_1$ ¡! También claramente $F \circ G$ es igual a la identidad en $\mathcal{C}_2$ Así que $G$ es un inverso de $F$ y por lo tanto $F$ es una equivalencia de categorías.

Por último, permíteme comentar que tu definición de esencialmente sobreyectiva no es del todo correcta. Se dice que un functor es esencialmente suryectivo si para cada objeto $C$ en $\mathcal{C}_2$ hay un objeto $A \in \mathcal{C}_1$ tal que $F(A)$ es isomorfo a $C$ ¡! Es importante que $F$ no tiene que ser estrictamente sobreyectiva en los objetos. Por ejemplo, el functor $G: \mathcal{C}_2 \to \mathcal{C}_1$ es esencialmente suryectiva, aunque no lo sea.