Construir un subconjunto de $\ell_2$ con tramo lineal denso y complemento infinito

Question

El problema que se me plantea es el siguiente

Supongamos que S es un subconjunto contablemente infinito de $\ell_2$ con la propiedad de que el tramo lineal de S es denso en $\ell_2$ siempre que S\S sea finito. Demostrar que existe algún S cuyo tramo lineal es denso en $\ell_2$ y para el que S\S es infinito.

He intentado repetidamente resolver esto de una manera un poco "golpear mi cabeza contra la pared", mediante la construcción de una serie de subconjuntos de algún S arbitrario, de tal manera que el complemento es finito y de tamaño creciente, pero no he tenido ningún éxito. En realidad no he utilizado el hecho de que estamos trabajando en $\ell_2$ aquí, por lo que es muy probable que deba utilizar alguna propiedad de los espacios de Hilbert - sin embargo, no estoy seguro de qué. ¿Podría alguien ayudarme?

Muchas gracias, Stephen.

Answer 1

Lo más probable es que ya te hayas dado cuenta de esto, pero tienes que tener cuidado con la forma de retirar los conjuntos. Si $S_1\subset S_2\subset S_3\subset\ldots\subset S$ con $|S_n|=n$ entonces usted sabe que cada $S\setminus S_n$ lapsos, pero no se puede decir que $S\setminus\cup_n S_n$ vanos. Por ejemplo, $S$ podría ser contable, y $\cup_n S_n$ podría ser $S$ .

Esto es Problema 9 en el de Halmos Un libro de problemas del espacio de Hilbert que, como de costumbre, tiene un montón de buenas lecturas que conducen al problema. Hay una pista:

Omite un subconjunto infinito omitiendo un elemento cada vez.

También hay una solución concisa en caso de que no tengas mucho cuidado de que te "regalen" la respuesta. (No te olvides de citar la fuente si la utilizas en el trabajo que entregues). Merece la pena echarle un vistazo incluso si resuelves el problema de forma independiente. La solución dada no depende de la geometría del espacio de Hilbert, y sería válida en cualquier separable espacio normado. (Como me señaló Qiaochu, la reducción a suponer que $S$ es contable no requiere separabilidad).

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Para elaborar un poco la pista, de una manera que espero sea útil sin dar demasiado, asegúrate en cada paso de que puedes aproximar los vectores que han sido eliminados con vectores que nunca serán eliminados.