El "pico" máximo se puede calcular en general para la respuesta de un sistema LTI de 2º orden, pero es un ejercicio algo complicado dependiendo de si se tiene un sistema sobreamortiguado o infraamortiguado.
La idea general es calcular la función de transferencia (en el dominio s), aplicar la transformada inversa de Laplace para obtener la respuesta al impulso en el dominio del tiempo y, a continuación, igualarla a cero para encontrar el extremo de la respuesta al paso. Este método se basa en el hecho de que para un sistema LTI, la derivada de la respuesta escalonada es igual a la respuesta al impulso . Pero esto sólo da los puntos de abscisa (tiempo de los extremos). Para obtener el valor real del rebasamiento, tenemos que sustituirlo por la respuesta escalonada real. Encontrar esta última es en realidad más difícil, como verás.
Así que, para empezar, en tu circuito, la función de transferencia es
$$ H(s) = \frac{\frac{1}{\frac{1}{R}+Cs}}{\frac{1}{\frac{1}{R}+Cs}+Ls} = \frac{R}{RLCs^2+Ls+R}$$
porque tienes un divisor de tensión creado por L y el paralelismo de R y C. ( Comprobación matemática .) También podrías utilizar un solucionador de circuitos simbólicos (como qsapecng) para obtenerlo/verificarlo:
![enter image description here]()
Para calcular el máximo, primero hay que aplicar la transformada inversa de Laplace para obtener la respuesta al impulso en el dominio del tiempo, y resolver los ceros de ésta (en el tiempo). Lo primero se puede hacer rápidamente con un programa de matemáticas pero da como resultado una fórmula peliaguda como la que se muestra a continuación, que también utiliza exponenciales de argumento complejo, por lo que contiene sinusoides "ocultas" en los casos en que los radicales dan números imaginarios.
![enter image description here]()
O bien, podemos hacerlo de forma más perspicaz poniendo (primero) la función de transferencia en la forma polar estándar para un sistema de 2º orden :
$$ H(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}$$
donde \$\omega_n\$ se llama frecuencia natural (angular) y \$\zeta\$ es la relación de amortiguación. Para este circuito (dividiendo con RLC el nominador y el denominador e identificando la potencia de s a partir de las dos expresiones de H),
$$\omega_n = \frac{1}{\sqrt{LC}}\;\; \text{and}\;\; \zeta = \frac{1}{2R}\sqrt{\frac{L}{C}}$$
(Ejercicio: relaciona esto con Fc y Q de tu pregunta).
La inversa de Laplace de esta forma estándar de H(s) es algo más inteligible, incluso cuando se resuelve con un programa que, de hecho, le ofrece una respuesta más general [aunque quizás algo confusa] en comparación con el libro de texto de ingeniería medio:
$$ h(t) = \frac{\omega_n^2}{\sqrt{\zeta^2-1}}\exp(-t\omega_n\zeta )\sinh\Big(t\omega_n \sqrt{\zeta^2-1}\Big)$$
(He escrito el exponencial así porque su exponente era un poco ilegible en la notación habitual de superíndice). Ten en cuenta que esta expresión compacta puede implicar algún cálculo de números complejos. Por ejemplo, en el caso de subamortiguación (por ejemplo, como se ve en tu último gráfico) \$0 < \zeta < 1\$ . Así que en este caso:
- \$\sqrt{\zeta^2-1} = \sqrt{-1}\sqrt{1-\zeta^2}\$ y
- \$\sinh(t\omega_n\sqrt{\zeta^2-1}) = \sqrt{-1}\sin(t\omega_n\sqrt{\zeta^2-1})\$
donde en la última igualdad utilizamos el hecho que \$\sinh(x\sqrt{-1}) = \sqrt{-1} \sin x\$ . Después de los dos \$\sqrt{-1}\$ se cancelan entre sí, obtenemos la fórmula del libro de texto para el caso de subamortiguación:
$$ h(t) = \frac{\omega_n^2}{\sqrt{1-\zeta^2}}\exp(-t\omega_n\zeta )\sin\Big(t\omega_n \sqrt{1-\zeta^2}\Big)$$
Por último, necesitamos encontrar los ceros de este respuesta al impulso (o incluso la forma sinh anterior, más general y a continuación se tiene en cuenta el intervalo de \$\zeta\$ ) :
$$ t_p = \frac{n\pi}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2}} $$
donde \$n\$ es un número entero positivo. El primer pico (y el más grande) se produce para \$n=1\$ . Ahora, para obtener realmente el valor de la ordenada de la respuesta al escalón en este momento, necesitamos la respuesta al escalón real en el dominio del tiempo.
Por desgracia, obtener la respuesta de paso real de manera agradable / perspicaz por la transformada inversa de Laplace, supera incluso las capacidades de Wolfram Alpha . Así que recurrir a un libro de texto para esto (que también verifica la fórmula de impulso que obtuvimos):
![enter image description here]()
Podemos Sin embargo, verifique que la derivada de esta respuesta escalonada nos da la respuesta al impulso . Después de esta comprobación de cordura, procedemos a sustituir la abscisa por el primer pico, para Obtenga el valor de pico [ordenada] (para una unidad, es decir, un paso de 1V):
$$ G_p = 1 + {\exp\Big(-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\Big)}$$
Nótese que el 1 tiene sentido ya que para un subamortiguado siempre tendremos un sobreimpulso, por lo que es de esperar que ese pico supere los 1V que hemos aplicado. Por último, vamos a sustituir R, L y C en esto :
Esto da
$$ G_p = 1 + \exp \Big(-\frac{\pi}{\sqrt{\frac{4CR^2}{L}-1}}\Big) $$
¡¡Verifiquemos por fin esto en un ejemplo!!
![enter image description here]()
![enter image description here]()
Bueno, no están completamente de acuerdo, pero creo que se acercan lo suficiente. Si compruebas el inductor de LTspice, verás que utiliza una resistencia en serie de 1mohm [por defecto, y no creo que puedas forzarla a cero]. Así que el circuito no es el mismo. No me puedo molestar en volver a resolver esto con esa resistencia añadida... Sospecho que la fórmula sería mucho más peliaguda.
Y he conseguido encontrar un folleto que da la fórmula del pico (para el sistema general de 2º orden) [en la p. 9] pero sin prueba, que verifica lo anterior.
0 votos
Normalmente se cerraría un bucle alrededor de esto (desde Vcap o IL) a la forma de onda PWM (ciclo de trabajo o frecuencia), por lo que el Q del circuito no es aparente en el bucle cerrado.
0 votos
@akellyirl No entiendo lo que quieres decir. ¿Quieres decir que el ciclo de trabajo PWM debe ser controlado en función de la tensión de salida o la corriente y poco a poco aumentó hasta que alcanza el valor deseado?