Mientras preparaba mi curso de introducción a la topología, me he dado cuenta de que no sé dónde encontrar una demostración detallada del teorema de Reidemeister (dos diagramas de enlace dan enlaces isotópicos, si se pueden conectar mediante una secuencia de movimientos de Reidemeister). Los alumnos de mi clase no son muy avanzados y no estoy seguro de que todos ellos sean capaces de reconstruir todos los detalles de la demostración dada en la teoría de nudos de Burde y Zieschang o en otras fuentes que conozco. Y, como soy un perezoso, me gustaría evitar tener que escribir una prueba detallada con imágenes cuando puedo remitir a los alumnos a un libro. Así que, ¿alguien sabe de alguna fuente que tenga una prueba con todos los detalles?
Respuestas
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TomA
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118
El semestre pasado di clases de teoría de nudos y me encontré con el mismo problema. Busqué en todos los libros que tenía a mano y no pude encontrar una prueba de nivel universitario. Al final, escribí mis propios apuntes (que estaré encantado de escanear cuando vuelva a la oficina). Las ideas clave para el análisis caso por caso están en el libro "Knots, links, braids, and 3-manifolds" de Prasolov y Sosinsky. También me resultó útil el libro de Louis Kauffman "On knots". Hay dos lemas que no he podido encontrar en ningún sitio: (1) el argumento de la posición general, que dice que hay una proyección agradable y (2) el argumento que dice que se puede encontrar una proyección general de manera que el diagrama asociado sea equivalente al diagrama original (la mayoría de los libros se saltan este tema). El sentido del segundo lema es que no basta con demostrar que existen dos proyecciones que difieren por movimientos de Reidemeister, sino que hay que demostrar que los dos diagramas dados difieren por movimientos de Reidemeister.
Scott Carter
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3972
La prueba de Reidemeister implica un único movimiento: sustituir 2 (o 1) aristas de un triángulo por la otra arista (aristas). Está en la traducción al inglés de su libro.
No sé si puedes encontrar los detalles de nuestro primer teorema del movimiento de la película en JKTR, o incluso la versión de CRS, pero cuando los hicimos, sentí que habíamos abordado los problemas generales de posición que menciona Dan.
ninesided
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179
Kunio Murasugi Teoría de los nudos y sus aplicaciones contiene lo que está buscando, creo. Enseñé la demostración del teorema de Reidemeister como parte de un curso corto sobre teoría de nudos, a partir de ese libro. Definitivamente, es apto para estudiantes universitarios.
T_P
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70
El libro de Messer y Straffin "Topology Now!" proporciona la mayoría de los pasos, empezando por su definición de nudo (capaz de descomponerse en un número finito de segmentos lineales), construyendo las ideas de posición general y movimientos triangulares, y luego demostrando los movimientos de Reidemeister. Digo "la mayoría" porque algunos de los pasos se dejan como ejercicios. El material es muy accesible para los estudiantes universitarios.
Joe
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156
