Encontrar un polinomio que satisfaga la ecuación

Question

Para
$$ f: x^6+3x^4-4 \\ g: x^5-x^4+5x^3-5x^2+6x-6 $$
cómo encontrar un polinomio $a \in \mathbb{Q}[x]_{(\deg f-\deg \gcd(f,g))}$ para que un polinomio $b \in \mathbb{Q}[x]$ existe cuando $\gcd(f,g)=bf+ag$ ?

Hasta ahora sé que $\gcd(f,g)=x^3-x^2+2x-2$ pero cómo puedo encontrar un polinomio adecuado $a$ para satisfacer la ecuación? Supongo que tengo que encontrar un polinomio $a$ que se deshace de los sumandos sobrantes en $g$ para $ag$ para que un ajuste $b$ existe que se deshace de los otros sumandos sobrantes en $f$ con $fg$ . Pero cómo encuentro un polinomio adecuado, que multiplicado por g, sólo tenga sumandos que estén en $\gcd(f,g)$ ?

Answer 1

Escribe $$ f = hg + r_0 $$ $$ g = q_1r_0 + r_1 $$ $$ r_0 = q_2r_1 + r_2 $$ y así sucesivamente. En cada paso, el deg $r_i >$ deg $r_{i + 1}$ y el grado $g >$ deg $r_0$ . (es lo mismo que se hace con los enteros).

Answer 2

Si ya tienes el gcd es $x^3-x^2+2x-2,$ entonces puede encontrar $b,a$ poniendo $$u=x^3+x^2+2x+2,\ \ v=x^2+3,$$ que son el resultado de factorizar el gcd de $f,g$ respectivamente. Entonces se puede expresar simplemente $1$ en la forma $bu+av$ y multiplicar por el gcd para obtenerlo como "gcd = b(gcd u) + a (gcd v)", que dado como $u,v$ se definieron es la misma que $\gcd(f,g)=bf+ag.$

Para conseguir $1$ como $bu+av$ sólo requiere dos pasos, empezando por $u-(x+1)v=-x-1$ y luego $v+(x-1)(-x-1)=4,$ donde podemos parar ya que $4$ es una unidad en $\mathbb{Q}[x].$ Trabajando hacia atrás se obtiene entonces $1=bu+av$ donde $$b=\frac{x-1}{4},\ \ a=\frac{2-x^2}{4}.$$